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Parametrix pour l'équation des ondes sur un espace-temps peu régulier III : régularité espace-temps de la phase

Parametrix for wave equations on a rough background III : space-time regularity of the phase

Jérémie SZEFTEL
Parametrix pour l'équation des ondes sur un espace-temps peu régulier III : régularité espace-temps de la phase
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  • Année : 2018
  • Tome : 401
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 83C05; Secondary 35Q75, 58J45
  • Nb. de pages : viii+321
  • ISBN : 978-2-85629-882-4
  • ISSN : 0303-1179 (print) 2942-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1051

Cet ouvrage est dédié à la construction et au contrôle d'une paramétrix pour l'équation des ondes homogènes $\square _{\boldsymbol {g}} \phi =0$, où $\boldsymbol {g}$ est une métrique peu régulière satisfaisant les équations d'Einstein dans le vide. Le contrôle d'une telle paramétrix et du terme d'erreur associé quand on suppose seulement des bornes $L^2$ sur le tenseur de courbure $\boldsymbol {R}$ de $\boldsymbol {g}$ est une étape cruciale de la preuve de la conjecture de courbure $L^2$ proposée en l'an 2000 et résolue en 2015 par S. Klainerman, I. Rodnianski et l'auteur. Plus généralement, cet ouvrage concerne le contrôle de l'équation eikonale sur un espace-temps peu régulier et la dérivation de bornes $L^2$ pour des opérateurs intégraux de Fourier sur des variétés avec une phase et un symbole peu réguliers, et possède de ce point vue un intérêt propre.

This book is dedicated to the construction and the control of a parametrix to the homogeneous wave equation $\square _{\boldsymbol {g}} \phi =0$, where $\boldsymbol {g}$ is a rough metric satisfying the Einstein vacuum equations. Controlling such a parametrix as well as its error term when one only assumes $L^2$ bounds on the curvature tensor $\boldsymbol {R}$ of $\boldsymbol {g}$ is a major step of the proof of the bounded $L^2$ curvature conjecture proposed by Sergiu Klainerman and solved by Sergiu Klainerman, Igor Rodnianski and the author. On a more general level, this book deals with the control of the eikonal equation on a rough background, and with the derivation of $L^2$ bounds for Fourier integral operators on manifolds with rough phases and symbols, and as such is also of independent interest.

Équations d'Einstein, équations d'onde, équation eikonale, solutions peu régulières
Einstein equations, wave equation, eikonal equation, rough solutions
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