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Sommes de Birkhoff itérées sur des extensions finies d'odomètres. Construction de solutions auto-similaires à des équations différentielles avec délai

Iterated Birkhoff sums on finite odometer extesnions. Construction of auto-similar solutions to differential equations with delay

Jean-François BERTAZZON, Vincent DELECROIX
Sommes de Birkhoff itérées sur des extensions finies d'odomètres. Construction de solutions auto-similaires à des équations différentielles avec délai
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 1
  • Tome : 146
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37B10, 45A05, 68R15
  • Pages : 81-140
  • DOI : 10.24033/bsmf.2753

Nous estimons le comportement asymptotique des sommes de Birkhoff itérées pour des systèmes dynamiques qui sont le codage d'extensions finies d'odomètres. Si $u$ est une suite de réels, sa première somme itérée $S^{(1)}(u)$ est la suite des sommes cumulatives des premiers termes. Puis par récurrence, nous définissons la $\ell $-ème somme itérée par $S^{(\ell )}(u) = S^{(1)}\big ( S^{(\ell -1)}(u)\big )$. Les systèmes dynamiques symboliques que nous étudions sont engendrés par des substitutions apériodiques et primitives particulières, que nous qualifierons de fortement uniformes. Nous montrons que pour tout entier $\ell \geq 1$, il existe un polynôme d'approximation $p_\ell $ tel que la différence des suites $S^{(\ell )}(u)-\big (p_\ell (n)\big )_{n\in \mathbb{N} }$ soient bornées, où $u$ est l'image de l'orbite d'un point par une fonction qui ne dépend que de la première lettre. Nous nous restreignons ensuite à des alphabets sur deux lettres $\{a,b\}$ puis nous imposons une condition combinatoire sur la substitution permettant d'estimer la croissance de ces bornes. Nous restreignons également notre étude au point fixe d'une substitution, et non plus sur l'ensemble du système dynamique symbolique. Ces sommes itérées correctement renormalisées convergent en un certain sens et permettent de construire une fonction qui est solution d'équations intégrales du type : $ \int _0^{\lambda x} f(t)\,dt = \eta \big (f(x) - f(0)\big )$ pour tout $x \geq 0$ pour des paramètres entiers $\lambda \geq 2$ et $\eta \in \mathbb Z ^*$.

We build bounded solutions to a linear integral equation. Our functions are built as limit of iterated Birkhoff sums over auto-similar dynamical systems.

Système dynamique symbolique, substitution, théorie ergodique, sommes de Birkhoff, odomètre, équation différentielle avec délai.
Symbolic dynamical system, substitution, ergodic theory, odometer, delay differential equation, Birkhoff sums.
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