Nous estimons le comportement asymptotique des sommes de Birkhoff itérées pour des systèmes dynamiques qui sont le codage d'extensions finies d'odomètres. Si $u$ est une suite de réels, sa première somme itérée $S^{(1)}(u)$ est la suite des sommes cumulatives des premiers termes. Puis par récurrence, nous définissons la $\ell $-ème somme itérée par $S^{(\ell )}(u) = S^{(1)}\big ( S^{(\ell -1)}(u)\big )$. Les systèmes dynamiques symboliques que nous étudions sont engendrés par des substitutions apériodiques et primitives particulières, que nous qualifierons de fortement uniformes. Nous montrons que pour tout entier $\ell \geq 1$, il existe un polynôme d'approximation $p_\ell $ tel que la différence des suites $S^{(\ell )}(u)-\big (p_\ell (n)\big )_{n\in \mathbb{N} }$ soient bornées, où $u$ est l'image de l'orbite d'un point par une fonction qui ne dépend que de la première lettre. Nous nous restreignons ensuite à des alphabets sur deux lettres $\{a,b\}$ puis nous imposons une condition combinatoire sur la substitution permettant d'estimer la croissance de ces bornes. Nous restreignons également notre étude au point fixe d'une substitution, et non plus sur l'ensemble du système dynamique symbolique. Ces sommes itérées correctement renormalisées convergent en un certain sens et permettent de construire une fonction qui est solution d'équations intégrales du type : $ \int _0^{\lambda x} f(t)\,dt = \eta \big (f(x) - f(0)\big )$ pour tout $x \geq 0$ pour des paramètres entiers $\lambda \geq 2$ et $\eta \in \mathbb Z ^*$.