SMF

Existence globale et comportement asymptotique de petites solutions pour des équation de Klein-Gordon critiques 1D

Global existence and asymptotics for quasi-linear one-dimensional Klein-Gordon equations with mildly decaying Cauchy data

Annalaura STINGO
Existence globale et comportement asymptotique de petites solutions pour des équation de Klein-Gordon critiques 1D
  • Consulter un extrait
  • Année : 2018
  • Fascicule : 1
  • Tome : 146
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 155-213
  • DOI : 10.24033/bsmf.2755

Soit $u$ une solution d'une équation de Klein-Gordon quasi-linéaire en dim. 1 d'espace, $\Box u + u = P(u, \partial _t u, \partial _x u; \, \partial _t \partial _x u, \partial ^2_x u)$, où $P$ est un polynôme homogène de degré trois, avec données initiales régulières de taille $\varepsilon \rightarrow 0$. Il est connu que, sous certaines conditions sur la non-linéarité, la solution est globale en temps pour des données initiales à support compact. Nous montrons que ce résultat est aussi vrai quand les données ne sont pas à support compact mais seulement décroissantes à l'infini comme $\langle x \rangle ^{-1}$, en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec une méthode de formes normales semi- iques introduite par Delort. De plus, nous obtenons un développement asymptotique à un terme pour $u$ lorsque $t \rightarrow +\infty $, prouvant ainsi un résultat de scattering modifié.

Let $u$ be a solution to a quasi-linear Klein-Gordon equation in one-space dimension, $\Box u + u = P(u, \partial _t u, \partial _x u; \, \partial _t \partial _x u, \partial ^2_x u)$, where $P$ is a homogeneous polynomial of degree three, and with smooth Cauchy data of size $\varepsilon \rightarrow 0$. It is known that, under a suitable condition on the nonlinearity, the solution is global-in-time for compactly supported Cauchy data. We prove in this paper that the result holds even when data are not compactly supported but just decaying as $\langle x \rangle ^{-1}$ at infinity, combining the method of Klainerman vector fields with a semi ical normal forms method introduced by Delort. Moreover, we get a one term asymptotic expansion for $u$ when $t \rightarrow +\infty $.

Solution globale pour des équations de Klein-Gordon quasi-linéaires, champs de vecteurs de Klainerman, analyse semi ique
Global solution of quasi-linear Klein-Gordon equations, Klainerman vector fields, Semi-classical Analysis.
Prix
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +