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Résonances de potentiels rapidement oscillants

Scattering resonances for highly oscillatory potentials

Alexis DROUOT
Résonances de potentiels rapidement oscillants
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 4
  • Tome : 51
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35P15, 35P25, 42B20.
  • Pages : 865-925
  • DOI : 10.24033/asens.2368

Nous étudions les résonances de potentiels à support compact $V_\varepsilon (x) = W(x, x/\varepsilon )$, où $W : \mathbb R ^d \times \mathbb R ^d/(2\pi \mathbb Z )^d \rightarrow \mathbb C $ et $d$ est impair. Ainsi, $V_\varepsilon $ est la somme d'un potentiel qui varie lentement $W_0$ et d'un potentiel qui oscille à fréquence $1/\varepsilon $. Quand $W_0 \equiv 0$ nous prouvons que $V_\varepsilon $ n'a pas de résonances dans la zone $\{\mathrm {Im} \lambda \geq -A \ln (\varepsilon ^{-1})\}$ mise à part une unique résonance proche de $0$ si $d = 1$. Nous montrons par un exemple explicite que ce résultat est optimal. Cela prouve une conjecture de Duchêne-Vukićević-Weinstein [?]. Quand $W_0 \neq 0$ et $W$ est lisse nous montrons que les resonances de $V_\varepsilon $ qui restent bornées lorsque $\varepsilon $ tend vers $0$ admettent une expansion en puissances de $\varepsilon $. Les arguments de la preuve permettent de calculer les coefficients de cette expansion. Nous construisons un potentiel effectif qui converge uniformément vers $W_0$ lorsque $\varepsilon $ tend vers $0$ et dont les résonances sont à distance $O(\varepsilon ^4)$ de celles de $W_0$. Cela améliore et étend les résultats de Duchêne, Vukićević et Weinstein à toutes les dimensions impaires.

We study resonances of compactly supported potentials $ V_\varepsilon (x) = W ( x, x/\varepsilon ) $ where $ W : \mathbb R ^d \times \mathbb R ^d / ( 2\pi \mathbb Z ) ^d \to \mathbb C $, $ d $ odd. That means that $ V_\varepsilon $ is a sum of a slowly varying potential, $ W_0 $, and one oscillating at frequency $1/\varepsilon $. When $ W_0 \equiv 0 $ we prove that there are no resonances above the line $\mathrm {Im}\lambda = -A \ln (\varepsilon ^{-1})$, except a simple resonance near $0$ when $ d=1$. We show that this result is optimal by constructing a one-dimensional example. This settles a conjecture of Duchêne-Vukićević-Weinstein [?]. When $ W_0 \neq 0$ and $W$ smooth we prove that resonances in fixed strips admit an expansion in powers of $\varepsilon $. The argument provides a method for computing the coefficients of the expansion. We produce an effective potential converging uniformly to $W_0$ as $\varepsilon \rightarrow 0$ and whose resonances approach resonances of $V_\varepsilon $ modulo $O(\varepsilon ^4)$. This improves the one-dimensional result of Duchêne, Vukićević and Weinstein and extends it to all odd dimensions.

Résonances, potentiels rapidement oscillants, expansions asymptotiques.
Scattering resonances, highly oscillatory potentials, asymptotic expansions.
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