SMF

Perturbations du modèle du votant et équations de réaction-diffusion

Voter Model Perturbations and Reaction Diffusion Equations

J. Theodore Cox, Richard Durrett & Edwin A. Perkins
  • Année : 2013
  • Tome : 349
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary: 60K35. Secondary: 35K57, 60J68, 60F17, 92D15, 92D40
  • Nb. de pages : 113+VI
  • ISBN : 978-285629-355-3
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.921
Nous considérons des systèmes de particules en interaction, perturbations du modèle du votant. En dimension $d \ge 3$, nous montrons qu'un rééchelonnement approprié en temps et en espace du système converge vers une solution d'une équation de réaction-diffusion. En combinant ce résultat avec des propriétés de l'E.D.P., nous donnons des conditions générales, et souvent asymptotiquement optimales, pour l'existence d'une mesure stationnaire non-dégénérée, ou pour l'extinction de l'un des types de particules. Certaines de nos méthodes proviennent d'un théorème sur la limite super-brownienne d'un rééchelonnement du système issu d'une densité faible ; nous utilisons également un argument fondé sur une construction par bloc. Nous appliquons ces résultats à la description du diagramme des phases de 4 systèmes, lorsque leurs paramètres se situent au voisinage du modèle du votant : (i) un modèle de Lotka-Volterra stochastique spatial de Neuhauser et Pacala, (ii) un modèle d'évolution de la coopération d'Ohtsuki, Hauert, Lieberman, et Nowak, (iii) une version à temps continu du modèle du votant non linéaire de Molofsky, Durrett, Dushoff, Griffeath, et Levin, (iv) un modèle du votant dans lequel les changements d'opinion sont suivis par une période de latence exponentiellement distribuée pendant laquelle l'électeur concerné ne change plus d'opinion. La première application confirme une conjecture de Cox et Perkins [8], et la seconde confirme une conjecture d'Ohtsuki et al. [34]. dans le cadre de certains graphes infinis. Une importante caractéristique de nos résultats généraux est qu'ils ne nécessitent pas l'attractivité du processus.
We consider particle systems that are perturbations of the voter model and show that when space and time are rescaled the system converges to a solution of a reaction diffusion equation in dimensions $d \ge 3$. Combining this result with properties of the P.D.E., some methods arising from a low density super-Brownian limit theorem, and a block construction, we give general, and often asymptotically sharp, conditions for the existence of non-trivial stationary distributions, and for extinction of one type. As applications, we describe the phase diagrams of four systems when the parameters are close to the voter model : (i) a stochastic spatial Lotka-Volterra model of Neuhauser and Pacala, (ii) a model of the evolution of cooperation of Ohtsuki, Hauert, Lieberman, and Nowak, (iii) a continuous time version of the non-linear voter model of Molofsky, Durrett, Dushoff, Griffeath, and Levin, (iv) a voter model in which opinion changes are followed by an exponentially distributed latent period during which voters will not change again. The first application confirms a conjecture of Cox and Perkins [8] and the second confirms a conjecture of Ohtsuki et al.[34] in the context of certain infinite graphs. An important feature of our general results is that they do not require the process to be attractive.
Système de particules en interaction, modèle du votant, équation de réaction-diffusion, théorie évolutive des jeux, modèle de Lotka-Volterra.
Interacting particle systems, voter model, reaction diffusion equation, evolutionary game theory, Lotka-Volterra model.
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