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Relaxation de l'équation des milieux poreux incompressible

Relaxation of the Incompressible Porous Media Equation

László Székelyhidi Jr.
Relaxation de l'équation des milieux poreux incompressible
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  • Année : 2012
  • Tome : 45
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35Q35; 35A02, 35D30, 76S05
  • Pages : 491-509
  • DOI : 10.24033/asens.2171
Il a récemment été démontré par Córdoba, Faraco et Gancedo dans [?], que l'équation des milieux poreux en dimension 2 admet des solutions faibles avec support compact dans le temps. La démonstration, qui fait appel à la méthode par intégration convexe telle qu'elle a été développée dans [?], dans le contexte des équations d'Euler incompressibles, utilise certaines idées provenant de la théorie des « laminates », et en particulier les configurations dites $T4$. Dans cette note, nous calculons explicitement la relaxation du « IPM », évitant ainsi les configurations $T4$. Ceci nous permet ensuite de construire des solutions faibles au problème des interfaces instables (problème de Muskat) et a pour autre conséquence de clarifier l'approche par flot de gradient, introduite par Otto dans [?].
It was shown recently by Córdoba, Faraco and Gancedo in [?] that the 2D porous media equation admits weak solutions with compact support in time. The proof, based on the convex integration framework developed for the incompressible Euler equations in [?], uses ideas from the theory of laminates, in particular $T4$ configurations. In this note we calculate the explicit relaxation of IPM, thus avoiding $T4$ configurations. We then use this to construct weak solutions to the unstable interface problem (the Muskat problem), as a byproduct shedding new light on the gradient flow approach introduced by Otto in [?].
Solutions faibles, fluides non visqueux, non-unicié, évolution de la microstructure.
Weak solutions, inviscid fluids, non-uniqueness, microstructure evolution.
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