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Points algébriques de hauteur bornée sur une surface

Algebraic points of bounded height on a surface

Cécile LE RUDULIER
Points algébriques de hauteur bornée sur une surface
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 4
  • Tome : 147
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14G05, 11G35, 14C05, 11G50
  • Pages : 705-748
  • DOI : 10.24033/bsmf.2796

Nous étudions dans cet article le problème du comptage du nombre de points algébriques, de degré donné $m$ et de hauteur bornée, sur une surface $X$ définie sur un corps de nombres et le relions à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre, concernant les points rationnels de hauteur bornée, sur le schéma de Hilbert de $m$ points sur $X$. Nous montrons alors que ces schémas de Hilbert ponctuels fournissent, sous certaines conditions, de nouveaux contre-exemples à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre et étudions plus précisément les cas des points quadratiques sur $\mathbf Q$ des surfaces $\mathbf P^1\times\mathbf P^1$ et $\mathbf P^2$. Dans ces deux cas, nous montrons que le schéma de Hilbert associé vérifie néanmoins une version légèrement affaiblie de la conjecture.

In this article, we study the asymptotic cardinality of the set of algebraic points of fixed degree and bounded height of a surface defined over a number field, when the bound on the height tends to infinity. In particular, we show that this can be connected to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture, i.e. the case of rational points, on some punctual Hilbert scheme. Our study shows that these associated Hilbert schemes provide, under certain conditions, new counterexamples to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture. However, in the  cases of $\mathbf P^1\times\mathbf P^1$ and $\mathbf P^2$ detailed in this article, the associated Hilbert schemes satisfy a slightly weaker version of the Batyrev-Manin-Peyre conjecture.

Théorie des nombres, Point algébrique, Schéma de Hilbert, Hauteur
Number theory, Algebraic point, Hilbert scheme, Heights
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