Nous étudions dans cet article le problème du comptage du nombre de points algébriques, de degré donné $m$ et de hauteur bornée, sur une surface $X$ définie sur un corps de nombres et le relions à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre, concernant les points rationnels de hauteur bornée, sur le schéma de Hilbert de $m$ points sur $X$. Nous montrons alors que ces schémas de Hilbert ponctuels fournissent, sous certaines conditions, de nouveaux contre-exemples à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre et étudions plus précisément les cas des points quadratiques sur $\mathbf Q$ des surfaces $\mathbf P^1\times\mathbf P^1$ et $\mathbf P^2$. Dans ces deux cas, nous montrons que le schéma de Hilbert associé vérifie néanmoins une version légèrement affaiblie de la conjecture.