Points fixes en présence d'orbites bornées dans les espaces hilbertiens
Fixed points for bounded orbits in Hilbert spaces

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- Année : 2017
- Fascicule : 1
- Tome : 50
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 47H10, 22D12, 22A05, 43A07, 20E05, 37A20
- Pages : 131-156
- DOI : 10.24033/asens.2317
Nous considérons la propriété suivante pour un groupe topologique $G$ : toute action affine continue de $G$ sur un espace hilbertien ayant une orbite bornée a un point fixe. Nous montrons qu'elle caractérise la moyennabilité des groupes localement compacts dénombrables à l'infini (en particulier des groupes discrets dénombrables).
Pour ce faire, nous introduisons une variante « modérée » de l'induction des représentations et nous généralisons le théorème de Gaboriau-Lyons pour montrer que tout groupe localement compact non moyennable admet, dans un sens probabiliste, des sous-groupes libres discrets. Ceci fournit une « solution au sens de la mesure » au problème de von Neumann pour les groupes localement compacts.
Nous illustrons ce dernier résultat en fournissant une réponse partielle au problème de Dixmier pour les groupes localement compacts.
Groupe moyennable, théorème du point fixe, problème de von Neumann, problème de Dixmier
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