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Prolongement unique quantitatif pour des équations d'onde avec des sauts à travers une interface et applications à la théorie du contrôle

Quantitative unique continuation for wave operators with a jump discontinuity across an interface and applications to approximate control

Spyridon FILIPPAS
Prolongement unique quantitatif pour des équations d'onde avec des sauts à travers une interface et applications à la théorie du contrôle
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 2
  • Tome : 152
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B60; 47F05, 35L05, 93B07, 93B05, 35Q93
  • Pages : 199-294
  • DOI : 10.24033/bsmf.2889

Dans cet article nous démontrons des résultats de prolongement unique quantitatif pour des opérateurs d'onde  de la forme $\partial_t^2-(c(x)\nabla \cdot)$ où le coefficient scalaire $c$ est discontinu à travers une interface de codimension un dans un domaine borné ou dans une variété riemannienne compacte. Nous ne faisons aucune hypothèse sur la géométrie de l'interface ou sur le signe du saut de $c$. L'ingrédient clef est une estimée de Carleman locale pour un opérateur d'onde ayant des coefficients discontinus. Nous combinons alors cette estimée avec les récentes techniques de Laurent-Léautaud pour propager des estimées de prolongement unique locales et obtenir une estimée de stabilité globale. Comme conséquence, nous obtenons le coût de la contrôlabilité approchée pour les ondes se propageant dans cette géométrie.

In this article we prove quantitative unique continuation results for wave operators of the form $\partial_t^2-(c(x)\nabla \cdot)$, where the scalar coefficient $c$ is discontinuous across an interface of codimension one in a bounded domain or on a compact Riemannian manifold. We do not make any assumptions regarding the geometry of the interface or the sign of the jumps of the coefficient $c$. The key ingredient is a local Carleman estimate for a wave operator with discontinuous coefficients. We then combine this estimate with the recent techniques of Laurent-Léautaud to propagate local unique continuation estimates and obtain a global stability inequality. As a consequence, we deduce the cost of the approximate controllability for waves propagating in this geometry.

Prolongement unique, estimée de Carleman, équation des ondes, sauts à travers une interface, contrôlabilité approchée, estimées de stabilité
Unique continuation, Carleman estimate, wave equation, jumps across an interface, approximate control, stability estimates

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