Dans cet article nous démontrons des résultats de prolongement unique quantitatif pour des opérateurs d'onde  de la forme $\partial_t^2-(c(x)\nabla \cdot)$ où le coefficient scalaire $c$ est discontinu à travers une interface de codimension un dans un domaine borné ou dans une variété riemannienne compacte. Nous ne faisons aucune hypothèse sur la géométrie de l'interface ou sur le signe du saut de $c$. L'ingrédient clef est une estimée de Carleman locale pour un opérateur d'onde ayant des coefficients discontinus. Nous combinons alors cette estimée avec les récentes techniques de Laurent-Léautaud pour propager des estimées de prolongement unique locales et obtenir une estimée de stabilité globale. Comme conséquence, nous obtenons le coût de la contrôlabilité approchée pour les ondes se propageant dans cette géométrie.