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A propos des ondes planes périodiques des équations de Schrödinger non linéaires

About plane periodic waves of the nonlinear Schrödinger equations

Corentin AUDIARD, L. Miguel RODRIGUES
A propos des ondes planes périodiques des équations de Schrödinger non linéaires
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 1
  • Tome : 150
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B10, 35B35, 35P05, 35Q55, 37K45
  • Pages : 111-207
  • DOI : 10.24033/bsmf.2846

Le travail présenté ici comprend une théorie relativement complète permettant l'analyse de la stabilité des ondes planes périodiques des équations de Schrödinger générales. D'une part, nous mettons la théorie unidimensionnelle, ou autrement dit la théorie de stabilité sous perturbations longitudinales, au niveau de celle disponible pour les systèmes de type Korteweg, en y incluant des résultats sur l'instabilité spectrale co-périodique, la stabilité orbitale non linéaire co-périodique, l'instabilité spectrale latérale et la dynamique linéarisée en temps long et ses relations avec la théorie de la modulation, et en résolvant toutes les hypothèses associées dans les régimes de petite amplitude et de grande période. D'autre part, nous étendons la partie spectrale de cette analyse au contexte multidimensionnel. En particulier, nous développons une asymptotique formelle de modulation multidimensionnelle, validons celle-ci au niveau spectral et l'utilisons pour démontrer que les ondes sont toujours spectralement instables à la fois dans les régimes de petite amplitude et de grande période.

The present contribution contains a quite extensive theory for the stability analysis of plane periodic waves of general Schrödinger equations. On one hand, we put the one-dimensional theory, or in other words the stability theory for longitudinal perturbations, on a par with the one available for systems of Korteweg type, including results on co-periodic spectral instability, nonlinear co-periodic orbital stability, side-band spectral instability and linearized large-time dynamics in relation with modulation theory, and resolutions of all the involved assumptions in both the small-amplitude and large-period regimes. On the other hand, we provide extensions of the spectral part of the latter to the multi-dimensional context. Notably, we provide suitable multi-dimensional modulation formal asymptotics, validate those at the spectral level and use them to prove that waves are always spectrally unstable in both the small-amplitude and the large-period regimes.

Schrödinger equations; periodic traveling waves ; spectral stability ; orbital stability ; abbreviated action integral ; harmonic limit ; soliton asymptotics ; modulation systems ; Hamiltonian dynamics.

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