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Finitude et périodicité des fractions continues sur des corps de nombres quadratiques

Finiteness and periodicity of continued fractions over quadratic number fields

Zuzana MASAKOVA, Tomas VAVRA, Francesco VENEZIANO
Finitude et périodicité des fractions continues sur des corps de nombres quadratiques
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 1
  • Tome : 150
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11A55, 11J70, 11A63
  • Pages : 77-109
  • DOI : 10.24033/bsmf.2845

Dans cet article, nous prouvons un théorème de périodicité pour certaines fractions continues avec les quotients incomplets dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique fixé, qui généralise le théorème classique de Lagrange. Comme application, nous considérons les $\beta$-fractions continues et montrons que pour tout nombre de Perron quadratique $\beta$, le développement en $\beta$-fractions continues des éléments dans $\mathbb{Q}(\beta)$ est soit fini, soit éventuellement périodique. Plus généralement, nous examinons la finitude et la périodicité des $\beta$-fractions continues pour tous les entiers quadratiques $\beta$, étudiant ainsi des problèmes soulevés par Rosen et Bernat.

In this paper we prove a periodicity theorem for certain continued fractions with partial quotients in the ring of integers of a fixed quadratic field. This theorem generalizes the classical theorem of Lagrange to a large set of continued fraction expansions. As an application we consider the $\beta$-continued fractions and show that for any quadratic Perron number $\beta$, the $\beta$-continued fraction expansion of elements in $\mathbb{Q}(\beta)$ is either finite or eventually periodic. More in general we examine the finiteness and periodicity of the $\beta$-continued fractions for all quadratic integers $\beta$, thus studying problems raised by Rosen and Bernat.

Contined fraction, Perron number, Quadratic Pisot numbers, finiteness

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