Dans cet article, nous prouvons un théorème de périodicité pour certaines fractions continues avec les quotients incomplets dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique fixé, qui généralise le théorème classique de Lagrange. Comme application, nous considérons les $\beta$-fractions continues et montrons que pour tout nombre de Perron quadratique $\beta$, le développement en $\beta$-fractions continues des éléments dans $\mathbb{Q}(\beta)$ est soit fini, soit éventuellement périodique. Plus généralement, nous examinons la finitude et la périodicité des $\beta$-fractions continues pour tous les entiers quadratiques $\beta$, étudiant ainsi des problèmes soulevés par Rosen et Bernat.