On montre que le quotient par le groupe projectif de la variété des points infiniment voisins d'ordre $n$ des points du plan est rationnel. On décrit précisément ce quotient pour $n=8$ et $n=9$. Pour $n=\frac 12 d(d+3) $, on obtient la rationalité du quotient sous $\mathrm {PGL}_{3}$ de la courbe plane universelle de degré $d$. En particulier, pour $d=4$ on a la rationalité de l'espace des modules ${\mathcal {M}}_{3}^{1}$ des courbes de genre $3$ avec point marqué.