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Specializations of endomorphism rings of abelian varieties

Specializations of endomorphism rings of abelian varieties

David W. Masser
Specializations of endomorphism rings of abelian varieties
     
                
  • Année : 1996
  • Fascicule : 3
  • Tome : 124
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14~K, 11~G, 11~J
  • Pages : 457-476
  • DOI : 10.24033/bsmf.2288
Soient $k$ un corps de nombres, $\overline {k}$ une clôture algébrique de $k$, $V$ une variété définie sur $k$ et $A$ une variété abélienne définie sur le corps de fonctions $k(V)$. On montre que, si $v$ appartient à $V(\overline {k})$, l'anneau d'endomorphisme absolu $\mathrm {End} A_v$ de la « fibre »$A_v$ est « presque toujours »isomorphe à l'anneau d'endomorphisme absolu $\mathrm {End} A$ ; en fait, « l'ensemble exceptionnel »des $v$ pour lesquels cela n'a pas lieu est « peu dense ». Plus précisément, soient $\varphi $ un plongement projectif de $V$ et $h_\varphi $ la hauteur de Weil logarithmique absolue associée. Il existe alors une constante $\lambda $, ne dépendant que de la dimension de $A$, et une constante $C$, ne dépendant que de $k, V, A$ et $\varphi $ satisfaisant à la condition suivante : si $d$ et $h$ sont deux réels $\geq 1$, il existe un polynôme homogène de degré au plus $C(\max \{d, h\})^\lambda $, non identiquement nul sur $V$, qui s'annule en tout point exceptionnel $v$ dans $V(\overline {k})$ tel que $[k(v):k]\leq d$ et $h_\varphi (v)\leq h$. Cela implique par exemple que, pour tout réel $H\geq 3$, il existe au plus $C(\log H)^\lambda $ entiers positifs $v\leq H$ tels que la jacobienne de la courbe $y^5=x(x-1)(x-v)$ admette de la multiplication complexe ; ou bien, qu'il y a au plus $CH^5 (\log H)^\lambda $ familles d'entiers positifs $v_0, \dots , v_5 \leq H$ telle que la jacobienne de la courbe $y ^2 = v_0 x^5 +\cdots + v_5$ admette un endomorphisme non trivial. Les démonstrations font appels à des estimations, obtenues récemment par Wüstholz et l'auteur [Math. Z. 215, 1994, p. 641–653], sur les générateurs des anneaux d'endomorphismes, ainsi qu'à une inégalité de Lange et à des techniques d'élimination effective (« zero estimates »et wronskiens).
Let $k$ be a number field with algebraic closure $\overline {k}$, let $V$ be a variety defined over $k$, and let $A$ be an abelian variety defined over the function field $k(V)$. It is shown that for $v$ in $V (\overline {k})$ the absolute endomorphism ring $\mathrm {End} A_v$ of the « fibre »$A_v$ is « almost always »isomorphic to the absolute endomorphism ring $\mathrm {End} A$ ; and even that the « exceptional set »of such $v$, where there is no such isomorphism, is « sparse ». More precisely, fix a projective embedding $\varphi $ of $V$ over $k$ and let $h_\varphi $ be the associated absolute logarithmic Weil height. Then there is a constant $\lambda $, depending only on the dimension of $A$, and a constant $C$, depending only on $k, V, A$ and $\varphi $, with the following property. For any real $d\geq 1$ and $h\geq 1$ there exists a homogeneous polynomial of degree at most $C(\max \{d,h\})^\lambda $, not vanishing identically on $V$, that vanishes at all exceptional $v$ in $V(\overline {k})$ with $[k(v) : k] \leq d$ and $h_\varphi (v)\leq h$. For example, this implies that for any real $H\geq 3$ there are at most $C(\log H)^\lambda $ positive integers $v\leq H$ for which the Jacobian of the curve $y ^5=x(x-1) (x-v)$ has complex multiplication ; or, there are at most $CH^5(\log H)^\lambda $ sets of positive integers $v_0, \dots , v_5 \leq H$ for which the Jacobian of the curve $y ^2 = v_0 x^5 + \cdots + v_5$ has non-trivial endomorphisms. The proofs involve recent estimates of Wüstholz and the author [Math. Z. 215, 1994, p. 641–653] for generators of endomorphism rings, together with an inequality of Lange and some effective elimination techniques using zero estimates from transcendence theory and Wronskians.


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