Soient $k$ un corps de nombres, $\overline {k}$ une clôture algébrique de $k$, $V$ une variété définie sur $k$ et $A$ une variété abélienne définie sur le corps de fonctions $k(V)$. On montre que, si $v$ appartient à $V(\overline {k})$, l'anneau d'endomorphisme absolu $\mathrm {End} A_v$ de la « fibre »$A_v$ est « presque toujours »isomorphe à l'anneau d'endomorphisme absolu $\mathrm {End} A$ ; en fait, « l'ensemble exceptionnel »des $v$ pour lesquels cela n'a pas lieu est « peu dense ». Plus précisément, soient $\varphi $ un plongement projectif de $V$ et $h_\varphi $ la hauteur de Weil logarithmique absolue associée. Il existe alors une constante $\lambda $, ne dépendant que de la dimension de $A$, et une constante $C$, ne dépendant que de $k, V, A$ et $\varphi $ satisfaisant à la condition suivante : si $d$ et $h$ sont deux réels $\geq 1$, il existe un polynôme homogène de degré au plus $C(\max \{d, h\})^\lambda $, non identiquement nul sur $V$, qui s'annule en tout point exceptionnel $v$ dans $V(\overline {k})$ tel que $[k(v):k]\leq d$ et $h_\varphi (v)\leq h$. Cela implique par exemple que, pour tout réel $H\geq 3$, il existe au plus $C(\log H)^\lambda $ entiers positifs $v\leq H$ tels que la jacobienne de la courbe $y^5=x(x-1)(x-v)$ admette de la multiplication complexe ; ou bien, qu'il y a au plus $CH^5 (\log H)^\lambda $ familles d'entiers positifs $v_0, \dots , v_5 \leq H$ telle que la jacobienne de la courbe $y ^2 = v_0 x^5 +\cdots + v_5$ admette un endomorphisme non trivial. Les démonstrations font appels à des estimations, obtenues récemment par Wüstholz et l'auteur [Math. Z. 215, 1994, p. 641–653], sur les générateurs des anneaux d'endomorphismes, ainsi qu'à une inégalité de Lange et à des techniques d'élimination effective (« zero estimates »et wronskiens).