Soit $\Psi _q$ l'algèbre quantique des symboles pseudo-différentiels sur le cercle. Nous construisons des quasi-isomorphismes entre la résolution standard de Hochschild de $\Psi _q$ et de « petits »complexes. Nous en déduisons l'homologie de Hochschild et les premiers groupes d'homologie cyclique de $\Psi _q$. Ces constructions donnent naturellement lieu à deux 1-cocycles cycliques qui s'avèrent être ceux construits par Khesin, Lyubashenko et Roger. Tous les groupes d'homologie que nous considérons sont topologiques dans un sens que nous précisons.