SMF

Représentations galoisiennes associées aux points d'ordre $\ell $ des jacobiennes de certaines courbes de genre 2

Points of order $\ell $ of the jacobian of special curves of genus $2$

Pierre Le Duff
Représentations galoisiennes associées aux points d'ordre $\ell $ des jacobiennes de certaines courbes de genre 2
  • Année : 1998
  • Fascicule : 4
  • Tome : 126
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14~H~40, 14~G~05
  • Pages : 507-524
  • DOI : 10.24033/bsmf.2334
Soit $J$ la jacobienne d'une courbe $C$ de genre 2 définie sur $\mathbb Q$. Soit $p$ un nombre premier. On suppose que la réduction du modèle de Néron de $J$ sur ${\mathbb Q}_p$ est une extension d'une courbe elliptique par un tore. Soit $\overline {\mathbb Q}$ une clôture algébrique de $\mathbb Q$ ; le groupe de Galois $\mathrm {Gal} (\overline {\mathbb Q}/{\mathbb Q})$ agit sur les points de $\ell $-division de $J$. On note $\rho _\ell $ la représentation associée. De plus, on suppose qu'il existe un nombre premier de bonne réduction $q$ tel que le groupe de Galois sur $\mathbb Q$ du polynôme caractéristique de l'endomorphisme de Frobenius en $q$ est le groupe diédral à 8 éléments (ce qui implique que $J$ est absolument simple). On peut alors déterminer une infinité de nombres premiers $\ell $ pour lesquels l'image de $\rho _\ell $ est $\mathrm {GSp} (4,{\mathbb F}_\ell )$. Deux exemples sont traités à la fin de l'article.
Let $J$ be the Jacobian of a curve $C$ of genus 2, defined over $\mathbb Q$. Let $p$ be a prime number. Assume that the reduction of the Néron model of $J$ over ${\mathbb Q}_p$ is an extension of an elliptic curve by a torus. We denote by $\overline {\mathbb Q}$ an algebraic closure of $\mathbb Q$ ; the Galois group $\mathrm {Gal} (\overline {\mathbb Q}/{\mathbb Q})$ acts on the $\ell $-division points of $J$. We denote by $\rho _\ell $ the associated representation. Let $q$ be a prime number where $J$ has good reduction such that the Galois group over $\mathbb Q$ of the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism associated to $q$ is the dihedral group with 8 elements (this implies that $J$ is absolutely simple). Then an infinite set of prime numbers can be found such that the image of $\rho _\ell $ is $\mathrm {GSp} (4,{\mathbb F}_\ell )$. Two exemples will be given at the end of this article.
groupe symplectique, variété abélienne, représentation galoisienne
Accès libre / Open access
Des problèmes avec le téléchargement?Des problèmes avec le téléchargement?
Informez-nous de tout problème que vous avez...