SMF

Sur la cohomologie galoisienne des corps $p$-adiques

On Galois cohomology of $p$-adic fields

Laurent Herr
Sur la cohomologie galoisienne des corps $p$-adiques
  • Année : 1998
  • Fascicule : 4
  • Tome : 126
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11~S~25, 11~S~15, 11~S~31, 14~F~30
  • Pages : 563-600
  • DOI : 10.24033/bsmf.2337
Ce travail fait suite à l'article de J.-M. Fontaine paru dans la Grothendieck Festschrift, où il construit une équivalence entre la catégorie des représentations $p$-adiques du groupe de Galois absolu $G_{\mkern -2mu K}$ d'un corps local $K$ d'inégale caractéristique $(0,p>0)$ et une catégorie de modules sur un certain anneau, munis de deux opérateurs aux propriétés particulières. Nous donnons ici à l'aide de ces nouveaux objets une construction explicite des groupes de cohomologie galoisienne d'une représentation $\mathbb Z_p$-adique de $p$-torsion de $G_{\mkern -2mu K}$. Lorsque $K$ est une extension finie de $\mathbb Q_p$, nous montrons ensuite comment on peut retrouver à partir de là les résultats iques de Tate concernant ces groupes : la finitude et le calcul de la caractéristique d'Euler-Poincaré. Les méthodes utilisées semblent être plus simples que les arguments cohomologiques habituels, ne serait-ce que parce que l'on ne se sert pas de la théorie sophistiquée du corps de e local et que tout est essentiellement explicite. Nous obtenons aussi au passage des résultats importants concernant la structure des modules associés aux représentations, ainsi qu'une filtration en trois crans sur leur cohomologie.
This work follows J.-M. Fontaine's paper in the Grothendieck Festschrift, where he constructs an equivalence between the category of ${\mathbb Z}_p$-adic representations of the absolute Galois group $G_{\mkern -2mu K}$ of a local field $K$ of mixed characteristic $(0,p>0)$ and a category of modules over a certain ring, endowed with two operators satisfying special properties. We give here an explicit construction of the cohomology groups of a ${\mathbb Z}_p$-adic representation of $G_{\mkern -2mu K}$ killed by a power of $p$, using these new objects. When $K$ is a finite extension of ${\mathbb Q}_p$, we show then how one can find again Tate's ical results about these groups : the finiteness and the calculation of the Euler-Poincaré characteristic. The methods used seem to be rather simpler than the standard cohomological arguments because we don't need sophisticated theories like local field theory and everything is essentially explicit. One gets also interesting information about the structure of the modules associated with representations and a $3$-step filtration on their Galois cohomology.
cohomologie galoisienne, corps $p$-adiques
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