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Représentations supercuspidales de $\mathrm{GL}_{n}(F)$ distinguées par une involution unitaire

Supercuspidal representations of $\mathrm{GL}_{n}(F)$ distinguished by a unitary involution

Jiandi ZOU
Représentations supercuspidales de $\mathrm{GL}_{n}(F)$ distinguées par une involution unitaire
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 2
  • Tome : 150
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22E50, 11F70; 11E39, 11E57, 20C20
  • Pages : 393-458
  • DOI : 10.24033/bsmf.2850

Soit $F/F_{0}$ une extension quadratique de corps localement compacts non archimédiens de caractéristique résiduelle $p\neq 2$. Soit $R$ un corps algébriquement clos de caractéristique différente de $p$. Pour $\pi$ une représentation supercuspidale de $G=\mathrm{GL}_{n}(F)$ sur $R$ et $G^{\tau}$ un sous-groupe unitaire de $G$ par rapport à $F /F_{0}$, on montre que $\pi$ est distinguée par $G^{\tau}$ si et seulement si $\pi$ est invariante galoisienne. Lorsque $R=\mathbb{C}$ et $F$ est un corps $p$-adique, ce résultat d'abord sous la forme d'une conjecture proposée par Jacquet a été prouvé dans les années 2010 par Feigon-Lapid-Offen en utilisant des méthodes globales. Notre preuve est locale et fonctionne à la fois pour les représentations complexes et les représentations $l$-modulaires avec $l\neq p$. Nous étudions plus en détail la dimension de $\mathrm{Hom}_{G^{\tau}}(\pi,1)$ et montrons qu'elle est au plus un.

Let $F/F_{0}$ be a quadratic extension of non-Archimedean locally compact fields of residue characteristic $p\neq 2$. Let $R$ be an algebraically closed field of characteristic different from $p$. For $\pi$ a supercuspidal representation of $G=\mathrm{GL}_{n}(F)$ over $R$ and $G^{\tau}$ a unitary subgroup of $G$ with respect to $F/F_{0}$, we prove that $\pi$ is distinguished by $G^{\tau}$, if and only if $\pi$ is Galois invariant. When $R=\mathbb{C}$ and $F$ is a $p$-adic field, this result was first a conjecture proposed by Jacquet and was proved in the 2010s by Feigon--Lapid--Offen by using global methods. Our proof is local and works for both complex representations and $l$-modular representations with $l\neq p$. We further study the dimension of $\mathrm{Hom}_{G^{\tau}}(\pi,1)$ and show that it is at most 1.

Représentation supercuspidale, représentation distinguée, groupe unitaire, représentation $l$-modulaire
Supercuspidal representation, distinguished representation, unitary group, $l$-modular representation

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