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Résultats d'équidistribution pour métriques singulières sur des fibrés en droites

Equidistribution results for singular metrics on line bundles

Dan Coman, George Marinescu
Résultats d'équidistribution pour métriques singulières sur des fibrés en droites
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  • Année : 2015
  • Tome : 48
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32L10; 32U40, 32W20, 53C55
  • Pages : 497-536
  • DOI : 10.24033/asens.2250
Considérons un fibré holomorphe en droites $L$ muni d'une métrique singulière $h$ au-dessus d'une variété complexe $X$. Soit $\gamma _p$ le courant de Fubini-Study associé naturellement à l'espace des sections holomorphes de carré intégrable de $L^{\otimes p}$. En supposant que le lieu singulier de la métrique $h$ est contenu dans un ensemble analytique compact $\Sigma \subset X$ tel que $\operatorname {codim} \Sigma \geq k$ et que le logarithme du noyau de Bergman associé à $L^{\otimes p}| _{{X\setminus \Sigma }}$ a l'ordre de croissance $o(p)$, $p\to \infty $, nous prouvons que : 1) Les courants $\gamma _p^k$ convergent faiblement sur $X$ vers $c_1(L,h)^k$, où $c_1(L,h)$ est le courant de courbure de $h$. 2) Les moyennes des zéros communs d'un $k$-vecteur aléatoire de sections holomphes $L^2$-intégrables convergent faiblement dans le sens des courants vers $c_1(L,h)^k$. L'hypothèse de croissance du noyau de Bergman est la conséquence de son développement asymptotique dans le cas d'une métrique lisse $h$. Nous la démontrons ici sous des conditions assez générales. Nous montrons ensuite que nos résultats s'appliquent à nombre de situations géométriques (métriques singulières sur un fibré gros, métriques de Kähler-Einstein sur des ouverts de Zariski, quotients arithmétiques...).
Let $(L,h)$ be a holomorphic line bundle with a positively curved singular Hermitian metric over a complex manifold $X$. One can define naturally the sequence of Fubini-Study currents $\gamma _p$ associated to the space of $L^2$-holomorphic sections of $L^{\otimes p}$. Assuming that the singular set of the metric is contained in a compact analytic subset $\Sigma $ of $X$ and that the logarithm of the Bergman density function of $L^{\otimes p}| _{{X\setminus \Sigma }}$ grows like $o(p)$ as $p\to \infty $, we prove the following : 1) the currents $\gamma _p^k$ converge weakly on the whole $X$ to $c_1(L,h)^k$, where $c_1(L,h)$ is the curvature current of $h$. 2) the expectations of the common zeros of a random $k$-tuple of $L^2$-holomorphic sections converge weakly in the sense of currents to $c_1(L,h)^k$. Here $k$ is so that $\operatorname {codim} \Sigma \geq k$. Our weak asymptotic condition on the Bergman density function is known to hold in many cases, as it is a consequence of its asymptotic expansion. We also prove it here in a quite general setting. We then show that many important geometric situations (singular metrics on big line bundles, Kähler-Einstein metrics on Zariski-open sets, arithmetic quotients) fit into our framework.
Noyau de Bergman, courants de Fubini-Study, métrique hermitienne singulière, équidistribution des zéros, sections holomorphes aléatoires.
Bergman density function, Fubini-Study currents, singular Hermitian metric, equidistribution of zeros, random holomorphic sections.
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