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Twists $p$-adiques analytiques et sous-convexité forte

$p$-adic analytic twists and strong subconvexity

Valentin Blomer, Djordje Milićević
Twists $p$-adiques analytiques et sous-convexité forte
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  • Année : 2015
  • Tome : 48
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F66, 11L40, 11L07
  • Pages : 561-605
  • DOI : 10.24033/asens.2252
Soit $f$ une forme primitive nouvelle (holomorphe ou de Maass). Soient $p$ un nombre premier, $n\geq 1$ un entier, et $t$ un nombre réel. Nous démontrons une borne sous-convexe de type Weyl pour la fonction $L$ de $f$, tordue par un caractère de Dirichlet $\chi $ de conducteur $q=p^n$. Plus précisément, on démontre $L(f\otimes \chi ,1/2+it)\ll _{p,t} q^{1/3+\varepsilon }$, avec une dépendance polynomiale et explicite en $p$ et $t$. La preuve repose sur la compensation entre les valeurs propres de Hecke de $f$ et les valeurs de $\chi $, dont l'oscillation est gouvernée par une phase $p$-adique analytique. Au cours de la démonstration, on développe quelques outils $p$-adiques, analogues de méthodes iques ou archimédiennes, telles que la dissection de Farey et la méthode de van der Corput pour les sommes d'exponentielles.
Let $f$ be a fixed cuspidal (holomorphic or Maaß) newform. We prove a Weyl-exponent subconvexity bound $L(f\otimes \chi ,1/2+it)\ll _{p,t}q^{1/3+\varepsilon }$ for the twisted $L$-function of $f$ with a Dirichlet character $\chi $ of prime power conductor $q=p^n$ (with an explicit polynomial dependence on $p$ and $t$). We obtain our result by exhibiting strong cancellation between the Hecke eigenvalues of $f$ and the values of $\chi $, which act as twists by exponentials with a $p$-adically analytic phase. Among the tools, we develop a general result on $p$-adic approximation by rationals (a $p$-adic counterpart to Farey dissection) and a $p$-adic version of van der Corput's method for exponential sums.
Sous-convexité, fonctions $L$, torsion par des caractères, sommes de caractères, sommes exponentielles, phase stationnaire, analyse $p$-adique.
Subconvexity, $L$-functions, character twists, depth aspect, character sums, exponential sums, method of stationary phase, $p$-adic analysis.
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