Soit $f$ une forme primitive nouvelle (holomorphe ou de Maass). Soient $p$ un nombre premier, $n\geq 1$ un entier, et $t$ un nombre réel. Nous démontrons une borne sous-convexe de type Weyl pour la fonction $L$ de $f$, tordue par un caractère de Dirichlet $\chi$ de conducteur $q=p^n$. Plus précisément, on démontre $L(f\otimes \chi ,1/2+it)\ll _{p,t} q^{1/3+\varepsilon }$, avec une dépendance polynomiale et explicite en $p$ et $t$. La preuve repose sur la compensation entre les valeurs propres de Hecke de $f$ et les valeurs de $\chi$, dont l'oscillation est gouvernée par une phase $p$-adique analytique. Au cours de la démonstration, on développe quelques outils $p$-adiques, analogues de méthodes iques ou archimédiennes, telles que la dissection de Farey et la méthode de van der Corput pour les sommes d'exponentielles.