SMF

Sets of integers with large trigonometric sums

Sets of integers with large trigonometric sums

Amnon BESSER
  • Année : 1999
  • Tome : 258
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 11L03; Secondary 42A05.
  • Pages : 35-76
  • DOI : 10.24033/ast.438

Nous cherchons à optimiser, pour un entier $k$ et un réel $u$ fixés, sur tous les ensembles $K= \{ a_1 < a_2 < \cdots < a_k \}\subset \mathbb {Z}$, la mesure de l'ensemble des $\alpha \in [0,1]$ tels que la valeur absolue de la somme trigonométrique $S_K ( \alpha ) = \sum _{j=1}^k e^{2 \pi i \alpha a_j }$ soit supérieure à $k-u$. Lorsque $u$ est suffisamment petit par rapport à $k$, nous sommes en mesure de construire un ensemble $K_{ex}$ qui est presque optimal. Cet ensemble est une union finie de progressions arithmétiques. Nous montrons que tout ensemble plus performant, s'il existe, a une structure similaire à celle de $K_{ex}$. On obtient également des bornes inférieures et supérieures précises pour la mesure maximale.

We investigate the problem of optimizing, for a fixed integer $k$ and real $u$ and on all sets $K= \{ a_1 < a_2 < \cdots < a_k \}\subset \mathbb {Z}$, the measure of the set of $\alpha \in [0,1]$ where the absolute value of the trigonometric sum $S_K ( \alpha ) = \sum _{j=1}^k e^{2 \pi i \alpha a_j }$ is greater than $k-u$. When $u$ is sufficiently small with respect to $k$ we are able to construct a set $K_{ex}$ which is very close to optimal. This set is a union of a finite number of arithmetic progressions. We are able to show that any better set, if such as one exists, has a structure similar to that of $K_{ex}$. We also get tight upper and lower bounds on the maximal measure.

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