SMF

Problèmes additifs inverses

Structure Theory of Set Addition

  • Année : 1999
  • Tome : 258
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 05-XX, 11Bxx, 11Hxx, 11Lxx, 11Pxx, 20Cxx, 20Dxx, 20Exx, 20Fxx, 60Exx, 60Fxx, 68Qxx, 90Cxx, 94Bxx
  • Nb. de pages : 458
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.436
La théorie additive des nombres, motivée par des conjectures telles que celles de Goldbach ou Waring, s'est longtemps consacrée à l'étude des propriétés additives de suites particulières. Dans les années 1930, on a remarqué que la considération des propriétés additives de suites générales, non seulement constituait un magnifique sujet en lui-même, mais en outre permettait des améliorations dans l'étude de suites particulières : ainsi, dans l'article fondateur de cette problématique, Schnirel'man a introduit une notion de densité sur les suites d'entiers, donné une minoration de la densité de la somme de deux suites et l'a appliquée à l'ensemble des nombres premiers montrant que tout entier peut être représenté comme une somme de nombres premiers, avec un nombre de termes uniformément borné. La théorie additive des nombres a évolué vers la définition d'invariants pour des parties de monoïdes (non nécessairement commutatifs) et l'étude des invariants de la somme d'ensembles en fonction des invariants liés à ces ensembles. Une nouvelle tendance est apparue dans les années 1950, avec les travaux de M. Kneser et G.A. Freiman, que l'on désigne parfois sous le vocable de théorie additive inverse : sachant que le rapport entre les invariants d'une famille d'ensembles et l'invariant de leur somme est extrêmal (ou presque extrêmal), que peut-on dire de la structure des ensembles eux-mêmes ? Cet abord a connu récemment un regain d'intérêt qui se trouve porter ses fruits dans d'autres domaines. Il a semblé judicieux de regrouper en un unique volume 24 articles de recherches originaux et 3 synthèses ayant trait à cette théorie de la structure des sommes d'ensembles et ses applications à la théorie des nombres élémentaire ou combinatoire, à la théorie des groupes, à la programmation entière et à la théorie des probabilités.
For a long time, additive number theory, motivated by conjectures such as those of Goldbach or Waring, has been concerned by the study of additive properties of special sequences. In the 1930's it was noticed that the consideration of the additive properties of general sequences turned out, not only to be a beautiful subject for its own sake, but was able to lead to improvements in the study of special sequences : thus, in the paper founding this philosophy, Schnirel'man introduced a density on sets of integers, gave a general lower bound for the density of the sum of two sets, and applied it to the special sequence of primes to show that every integer can be written as a sum of a uniformly bounded number of primes. Additive number theory evolved towards the definition of invariants for sets of (non-necessarily commutative) monoids and the study of the invariants for the “sum” of different sets in terms of the invariants of those sets. A new trend appeared in the 1950's, with authors like M. Kneser and G. A. Freiman, which is sometimes described as inverse additive theory : knowing that the relation between the invariants of a family of sets and the invariant of their sum is extremal (or close to), what can be said on the structure of the sets themselves ? In recent years, there has been a renewed interest for this approach which turns out to have applications to several other fields. It has seemed appropriate to gather in a single volume 24 contemporary original research papers and 3 survey articles dealing with the structure theory of set addition and its applications to elementary or combinatorial number theory, group theory, integer programming and probability theory.
additive number theory, combinatorial number theory, additive finite groups, structure theory of set addition, inverse additive problems, sums of discrete random variables, subset sums, integer programming, coding theory
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