Cet article démarre l'étude du comportement limite local d'un système triangulaire de variables aléatoires indépendantes $(\zeta _{n,k})_{1 \leq k\leq n}$, où la loi de $\zeta _{n,k}$ dépend de $n$. Nous considédrons le cas où $\zeta _{n,1}$ prend trois valeurs entières $0< a_1(n)< a_2(n)$ avec des probabilités respectives $p_0, p_1, p_2$ qui ne dépendent pas de $n$. Nous montrons qu'il y a trois types de comportement limite pour la suite des variables aléatoires $\eta _n=\zeta _{n,1}+\cdots +\zeta _{n,n}$, selon que $a_2(n)/\mbox {pgcd}(a_1(n),a_2(n))$ tend vers l'infini plus lentement, plus vite ou à la même vitesse que $\sqrt {n}$.