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On series of discrete random variables, 1: real trinomial distributions with fixed probabilities

On series of discrete random variables, 1: real trinomial distributions with fixed probabilities

Jean-Marc DESHOUILLERS, Gregory A. FREIMAN, William MORAN
  • Année : 1999
  • Tome : 258
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60F05, 60E10, 11P55, 11Z05.
  • Pages : 411-423
  • DOI : 10.24033/ast.462

Cet article démarre l'étude du comportement limite local d'un système triangulaire de variables aléatoires indépendantes $(\zeta _{n,k})_{1 \leq k\leq n}$, où la loi de $\zeta _{n,k}$ dépend de $n$. Nous considédrons le cas où $\zeta _{n,1}$ prend trois valeurs entières $0< a_1(n)< a_2(n)$ avec des probabilités respectives $p_0, p_1, p_2$ qui ne dépendent pas de $n$. Nous montrons qu'il y a trois types de comportement limite pour la suite des variables aléatoires $\eta _n=\zeta _{n,1}+\cdots +\zeta _{n,n} $, selon que $a_2(n)/\mbox {pgcd}(a_1(n),a_2(n))$ tend vers l'infini plus lentement, plus vite ou à la même vitesse que $\sqrt {n}$.

This paper begins the study of the local limit behaviour of triangular arrays of independent random variables $(\zeta _{n,k})_{1 \leq k\leq n}$ where the law of $\zeta _{n,k}$ depends on on $n$. We consider the case when $\zeta _{n,1}$ takes three integral values $0< a_1(n)< a_2(n)$ with respective probabilities $p_0, p_1, p_2$ which do not depend on $n$. We show three types of limit behaviours for the sequence of r. v. $\eta _n=\zeta _{n,1}+\cdots +\zeta _{n,n} $, according as $a_2(n)/\mbox {gcd}(a_1(n),a_2(n))$ tends to infinity slower, quicker or at the same speed as $\sqrt {n}$.

Sums of discrete random variables, local limit theorems, characteristic function, number theoretic methods, circle method
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