On décrit la structure des ensembles $\mathbb {K}$ de points d'un réseau plan tels que $|\mathbb {K}+\mathbb {K}|$ est petit comparé à $|\mathbb {K}|$. Soit $\mathbb {K}$ un sous-ensemble fini de $\mathbb {Z}^2$ tel que $ |\mathbb {K}+\mathbb {K}| < 3.5|\mathbb {K}| -7.$ Si $\mathbb {K}$ est porté par trois droites parallèles, alors l'enveloppe convexe de $\mathbb {K}$ est contenu dans trois progressions arithmétiques compatibles de même raison ayant en totalité au plus $|\mathbb {K}|+{3\over 4} \Big ( |\mathbb {K}+\mathbb {K}|-{10\over 3}|\mathbb {K}|+5 \Big )$ termes. Cette majoration est optimale.