SMF

On the structure of sets of lattice points in the plane with a small doubling property

On the structure of sets of lattice points in the plane with a small doubling property

Yonutz V. STANCHESCU
  • Année : 1999
  • Tome : 258
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 05D05, 11B75, 11P99
  • Pages : 217-240
  • DOI : 10.24033/ast.450

On décrit la structure des ensembles $\mathbb {K}$ de points d'un réseau plan tels que $|\mathbb {K}+\mathbb {K}|$ est petit comparé à $|\mathbb {K}|$. Soit $\mathbb {K}$ un sous-ensemble fini de $\mathbb {Z}^2$ tel que $ |\mathbb {K}+\mathbb {K}| < 3.5|\mathbb {K}| -7.$ Si $\mathbb {K}$ est porté par trois droites parallèles, alors l'enveloppe convexe de $\mathbb {K}$ est contenu dans trois progressions arithmétiques compatibles de même raison ayant en totalité au plus $|\mathbb {K}|+{3\over 4} \Big ( |\mathbb {K}+\mathbb {K}|-{10\over 3}|\mathbb {K}|+5 \Big )$ termes. Cette majoration est optimale.

We describe the structure of sets of lattice points in the plane, having a small doubling property. Let $\mathbb {K}$ be a finite subset of $\mathbb {Z}^2$ such that $|\mathbb {K}+\mathbb {K}| < 3.5|\mathbb {K}| - 7.$ If $\mathbb {K}$ lies on three parallel lines, then the convex hull of $\mathbb {K}$ is contained in three compatible arithmetic progressions with the same common difference, having together no more than $|\mathbb {K}|+{3\over 4} \Big ( |\mathbb {K}+\mathbb {K}|-{10\over 3}|\mathbb {K}|+5 \Big )$ terms. This upper bound is best possible.

Two-dimensional lattice points, small doubling property
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