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Sumsets with distinct summands and the Erdős-Heilbronn conjecture on sums of residues

Sumsets with distinct summands and the Erdős-Heilbronn conjecture on sums of residues

Gregory A. FREIMAN, Lewis LOW, Jane PITMAN
  • Année : 1999
  • Tome : 258
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 163-172
  • DOI : 10.24033/ast.444

Soit $S$ un ensemble d'entiers ou de es de résidus modulo un nombre premier $p$, de cardinalité $|S|=k$, et soit $T$ l'ensemble de toutes les sommes de deux éléments distincts de $S$. Dans le cas des entiers, on démontre que, si $|T|$ est plus petit qu'un nombre proche de $2.5k$, alors $S$ est contenu dans une progression arithmétique de cardinal relativement petit. Dans le cas des résidus, un résultat du même genre est obtenu, pourvu que $k>60$ et $p>50k$. Comme application, on prouve que $|T|\ge 2k-3$ sous ces conditions. Des résultats antérieurs de Freiman jouent un rôle essentiel dans les démonstrations.

Let $S$ be a set of integers or of residue es modulo a prime $p$, with cardinality $|S|=k$, and let $T$ be the set of all sums of two distinct elements of $S$. For the integer case, it is shown that if $|T|$ is less than approximately $2.5k$ then $S$ is contained in an arithmetic progression with relatively small cardinality. For the residue case a result of this type is derived provided that $k>60$ and $p>50k$. As an application, it is shown that $|T|\ge 2k-3$ under these conditions. Earlier results of Freiman play an essential role in the proofs.

sumset, set addition, sums of residues.
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