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Stabilité globale des ondes progressives pour une équation hyperbolique amortie avec non-linéarité bistable

Global stability of travelling fronts for a damped wave equation with bistable nonlinearity

Thierry Gallay, Romain Joly
Stabilité globale des ondes progressives pour une équation hyperbolique amortie avec non-linéarité bistable
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  • Année : 2009
  • Tome : 42
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B35, 35B40, 37L15, 37L7
  • Pages : 103-140
  • DOI : 10.24033/asens.2091
Nous étudions l'équation hyperbolique amortie $\alpha u_{tt}+u_t =u_{xx}-V'(u)$ sur la droite réelle, où $V$ est un potentiel bistable. Cette équation possède des ondes progressives de la forme $u(x,t) = h(x-st)$ qui décrivent le mouvement d'une interface séparant deux états d'équilibre du système, dont l'un est le minimum global de $V$. Nous montrons que, si les données initiales sont suffisamment proches du profil du front pour $|x|$ grand, alors la solution de l'équation hyperbolique amortie converge uniformément sur $\mathbb {R}$ vers une onde progressive lorsque $t \to +\infty $. La démonstration de ce résultat de stabilité globale s'inspire d'un travail récent de E. Risler [?] et repose sur l'existence pour notre système d'une fonction de Lyapunov dans tout référentiel en translation uniforme.
We consider the damped wave equation $\alpha u_{tt}+u_t=u_{xx}-V'(u)$ on the whole real line, where $V$ is a bistable potential. This equation has travelling front solutions of the form $u(x,t)=h(x-st)$ which describe a moving interface between two different steady states of the system, one of which being the global minimum of $V$. We show that, if the initial data are sufficiently close to the profile of a front for large $|x|$, the solution of the damped wave equation converges uniformly on $\mathbb {R}$ to a travelling front as $t \to +\infty $. The proof of this global stability result is inspired by a recent work of E. Risler [?] and relies on the fact that our system has a Lyapunov function in any Galilean frame.
Onde progressive, stabilité globale, équation hyperbolique amortie, fonction de Lyapunov
Travelling front, global stability, damped wave equation, Lyapunov function
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