SMF

Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé

About some faces of the generalized Littlewood-Richardson cone

Pierre-Louis Montagard, Nicolas Ressayre
Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé
  • Année : 2007
  • Fascicule : 3
  • Tome : 135
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20G05
  • Pages : 343-365
  • DOI : 10.24033/bsmf.2538
Soient $G\subset \hat G$ deux groupes réductifs connexes définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Notons $\mathcal D$ (resp. $\hat {\mathcal D}$) l'ensemble des es d'isomorphisme des représentations irréductibles de $G$ (resp. de $\hat G$). Nous nous intéressons à l'ensemble $\mathcal {C}$ des couples $(\mu ,\h \nu )$ dans $\mathcal D\times \hat {\mathcal D}$ pour lesquels un $\hat G$-module de e $\hat \nu $ contient un sous-$G$-module de e $\mu $. Il est bien connu que $\mathcal {C}$ engendre un cône polyédral dans l'espace vectoriel rationnel engendré par le produit du groupe des caractères de $G$ avec le groupe des caractères de $\h G$. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant $\mathcal D$ induit une face de codimension un du cône engendré par $\mathcal {C}$. Nous appliquons ces résultats à des exemples iques de problèmes de décompositions de représentations (produit tensoriel et pléthysme).
Let $\hat G$ be a connected reductive algebraic group and $G$ be a reductive closed and connected subgroup of $\hat G$ both defined over an algebraically closed field of characteristic zero. Let $\mathcal D$ (resp. $\hat {\mathcal D}$) the set of isomorphism es of irreducible representations of $G$ (resp. $\hat G$). We consider the set of elements $(\mu ,\hat \nu )\in ({\mathcal D}, \hat {\mathcal D})$ such that an irreducible $G$-module of $\mu $ is a submodule of a $\hat G$-module of $\hat \nu $. This set generate a polyhedral cone $\mathcal C$ in the rational vector space generated by the product of characters of $G$ and $\hat G$. By Geometric Invariant Theory methods we give, in particular, a sufficient condition for a linear inequality defining $\mathcal D$ to induce a face of codimension one of $\mathcal C$. We apply our results to several ical example in representation theory (tensor products and plethysm).
Représentations, décomposition de représentations, cône de Littlewood-Richarson, produit tensoriel, pléthysme
Representation theory, decomposition, Littlewood-Richarson cone, tensor products, plethysm
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