SMF

Sur la cohomologie équivariante des variétés différentiables

Michel DUFLO, Shrawan KUMAR, Michèle VERGNE
Sur la cohomologie équivariante des variétés différentiables
  • Année : 1993
  • Tome : 215
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 19L47, 22E45, 57R91
  • Nb. de pages : 220
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.202

Soit $G$ un groupe de Lie réel opérant dans une variété $M$. Le complexe de de Rham équivariant et sa cohomologie $H_G^*(M)$ ont été introduits par H. Cartan. Si l'action de $G$ sur $M$ est libre, $H_G^*(M)$ est la cohomologie $H^*(G\setminus M)$ de l'espace des orbites et si $M$ est le point $\bullet $, $H_G^*(\bullet )$ est l'algèbre des fonctions polynomiales invariantes sur l'algèbre de Lie $\mathfrak {g}$ de $G$. A chaque fibré $G$-équivariant sur $M$ muni d'une connection $G$-invariante sont associées des es de Chern équivariantes. Il s'est avéré indispensable de considérer des objets cohomologiques plus généraux tels que l'algèbre $H_G^\infty (M)$ de cohomologie équivariante à coefficients $C^\infty $ qui est une algèbre sur $H_G^\infty (\bullet ) = C^\infty (\mathfrak {g})^G$, et l'espace $H_G^{-\infty }(M)$ de cohomologie équivariante à coefficients $C^{-\infty }$ qui est un module pour $H_G^\infty (M)$, et pour laquelle $H_G^{-\infty }(\bullet )$ est l'espace des fonctions généralisées invariantes $C^{-\infty }(\mathfrak {g})^G$. Le premier des deux articles réunis ici, Cohomologie équivariante et descente, par Michel Duflo et Michèle Vergne, étudie une généralisation, notée $\mathcal {K}_G(M)$, de la cohomologie $H_G^\infty (M)$. C'est une algèbre sur $\mathcal {K}_G(\bullet ) = C^\infty (G)^G$. On peut la considérer comme un analogue global de $H_G^\infty (M)$ et comme une version à la de Rham de la $K$-théorie équivariante de $M$. La construction de $\mathcal {K}_G(M)$ est basée sur la considération des points fixes dans $M$ des éléments de $G$ contenus dans un sous-groupe compact. Tout au moins lorsque $G$ lui-même est compact, et sous certaines conditions d'orientation, “l'intégrale” sur $M$ d'un élérnent de $\mathcal {K}_G(M)$ est une fonction $G$-invariante sur $G$. Le deuxième article, Equivariant cohomology with generalized coefficients, par Shrawan Kumar et Michèle Vergne, entreprend une étude systématique des espaces $H_G^{-\infty }(M)$. On découvre des es remarquables qui n'ont pas d'équivalent dans la théorie $C^\infty $. En particulier lorsque l'action de $G$ sur $M$ est libre, l'intégrale sur $M$ d'un élément de $H_G^{-\infty }(M)$ est une fonction généralisée sur $\mathfrak {g}$ de support $0$. Lorsque $G$ est compact, une suite spectrale permet de comparer $H_G^{-\infty }(M)$ et la cohomologie équivariante $H_G^*(M)$. Les deux articles, bien qu'ayant des motivations communes peuvent être lus indépendamment.

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