SMF

Systèmes cohérents et structures de niveau

Joseph Le Potier
  • Année : 1993
  • Tome : 214
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14D20, 14F05
  • Nb. de pages : 160
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.201
Un système cohérent $(\Gamma ,\mathrm {F})$ de dimension $d$ sur une variété algébrique projective et lisse X de dimension $n$ est la donnée d'un faisceau algébrique cohérent F sur X dont le support est de dimension $d$ et d'un sous-espace vectoriel $\Gamma $ de l'espace vectoriel des sections $\mathrm {h}^0(\mathrm {F})$. Dans cet article, on définit une notion naturelle de semi-stabilité pour de tels systèmes cohérents ; on construit, en s'inspirant du travail de C. Simpson, une variété projective $\mathbf {Syst_x}(\mathrm {P})$ qui est un espace de modules grossier pour les systèmes cohérents semi-stables $(\Gamma ,\mathrm {F})$ dont on a fixé le polynôme de Hilbert $\mathrm {P_F=P}$. On donne deux illustrations de cette construction : la première conduit à une description de l'espace de modules $\mathbf {M_{P_2}} (2; 0, 4)$ des es de faisceaux semi-stables de rang 2, et de es de Chern (0,4) sur le plan projectif et permet de comprendre comment étendre à cette variété projective la correspondance birationnelle bien connue avec la variété des systèmes linéaires de dimension 1 et de degré 5 sur les coniques lisses du plan. La seconde application conduit à l'étude des trois composantes irréductibles, découvertes par Trautmann, de l'espace de modules des faisceaux semi-stables de rang 2, de es de Chern (0, 2, 0) sur l'espace projectif. Cette étude est lice à celle de certains espaces de modules de faisceaux semi-stables de dimension 2 sur I'espace projectif, portés par des quadriques éventuellement singulières.
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