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Sur la rigidité de polyèdres hyperboliques en dimension $3$ : cas de volume fini, cas hyperidéal, cas fuchsien

About the Rigidity of Tridimensional Hyperbolic Polyhedra : Finite Volume Case, Hyperideal Case, Fuchsian Case

Mathias Rousset
Sur la rigidité de polyèdres hyperboliques en dimension $3$ : cas de volume fini, cas hyperidéal, cas fuchsien
  • Année : 2004
  • Fascicule : 2
  • Tome : 132
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 52A55, 53C45
  • Pages : 233-261
  • DOI : 10.24033/bsmf.2465
Un polyèdre hyperbolique semi-idéal est un polyèdre dont les sommets sont dans l'espace hyperbolique $\mathbb {H}^{3}$ ou à l'infini. Un polyèdre hyperbolique hyperidéal est, dans le modèle projectif, l'intersection de $\mathbb {H}^{3}$ avec un polyèdre projectif dont les sommets sont tous en dehors de $\mathbb {H}^3$ et dont toutes les arêtes rencontrent $\mathbb {H}^{3}$. Nous ifions les polyèdres semi-idéaux en fonction de leur métrique duale, d'après les résultats de Rivin dans [8] (écrit avec C.D. Hodgson) et [7]. Nous utilisons ce résultat pour retrouver la ification des polyèdres hyperidéaux en terme de leur combinatoire et de leurs angles dièdres. Nous généralisons ces résultats au cas des polyèdres fuchsiens.
An hyperbolic semi-ideal polyhedron is a polyhedron whose vertices lie inside the hyperbolic space $\mathbb {H}^{3}$ or at infinity. An hyperideal polyhedron is, in the projective model, the intersection of $\mathbb {H}^{3}$ with a projective polyhedron whose vertices all lie outside of $\mathbb {H}^{3}$, and whose edges all meet $\mathbb {H}^{3}$. We ify semi-ideal polyhedra in terms of their dual metric, using the results of Rivin in [8] (written with C.D. Hodgson) et [7]. This result is used to obtain the ification of hyperideal polyhedra in terms of their combinatorial type and their dihedral angles. These two results are generalized to the case of fuchsian polyhedra.
Géomètrie hyperbolique, polyèdres, polyèdres hyperidéaux, variété fuchsienne, rigidité
Hyperbolic geometry, polyhedra, hyperideal polyhedra, fuchsian manifold, rigidity
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