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Sur les caractères des groupes réductifs finis à centre non connexe : applications aux groupes spéciaux linéaires et unitaires

On the characters of finite reductive groups with disconnected center : applications to special linear and special unitary groups

Cédric Bonnafé
Sur les caractères des groupes réductifs finis à centre non connexe : applications aux groupes spéciaux linéaires et unitaires
  • Année : 2006
  • Tome : 306
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20G05; 20G40
  • Nb. de pages : vi+165
  • ISBN : 978-2-85629-190-0
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.699

Un premier but de cet article est de présenter une synthèse des résultats de plusieurs auteurs concernant les caractères des groupes réductifs finis à centre non connexe. Nous nous intéressons particulièrement aux problèmes directement liés à la non connexité du centre. Nous insistons notamment sur les caractères de Gelfand-Graev et les caractères semisimples. Un deuxième but est d'étudier l'influence de la non connexité du centre sur la théorie des faisceaux-caractères. Nous nous concentrons sur la famille des faisceaux-caractères dont le support rencontre la e unipotente régulière : ce sont les analogues naturels des caractères semisimples. Le dernier but est l'application de ces résultats aux groupes réductifs finis de type $A$, déployés ou non (comme par exemple les groupes spéciaux linéaires ou unitaires). Lorsque le cardinal du corps fini de référence est assez grand, nous obtenons un paramétrage des caractères irréductibles, calculons explicitement le foncteur d'induction de Lusztig dans la base des caractères irréductibles, paramétrons les faisceaux-caractères et montrons que les fonctions caractéristiques de ces faisceaux-caractères sont des transformées de Fourier des caractères irréductibles (conjecture de Lusztig). Ces résultats permettent de construire un algorithme théorique pour calculer la table de caractères de ces groupes.

A first aim of this paper is to present an overview of results obtained by several authors on the characters of finite reductive groups with non-connected centre. We are particularly interested in problems directly linked to the non-connectedness of the centre. We emphasise on Gelfand-Graev and semisimple characters. A second aim is to study the influence of the non-connectedness of the centre on the theory of character sheaves. We study more precisely the family of character sheaves whose support meets the regular unipotent : these are analogues of the semisimple characters. The last aim is the application of these results to finite reductive groups of type $A$, split or not (as for instance the special linear or special unitary groups). Whenever the cardinality of the finite field is large enough, we obtain a parametrization of the irreducible characters, a parametrization of the character sheaves, and we show that the characteristic functions of character sheaves are Fourier transforms of the irreducible characters (Lusztig's conjecture). This gives a theoretical algorithm for computing the character table of these groups.

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