Nous étudions les opérateurs sectoriels et les semigroupes opérant sur un espace $L^p$ non commutatif. Nous introduisons de nouvelles fonctions carrées adaptées à ce contexte et étudions leurs interactions avec le calcul fonctionnel $H^\infty $. Nous obtenons des extensions de travaux fameux de Cowling, Doust, McIntoch et Yagi qui concernaient le cas commutatif. Cette étude nécessite l'introduction de variantes de la Rademacher sectorialité et l'usage des structures matricielles sur les espaces $L^p$ non commutatifs. Nous traitons de façon approfondie les semigroupes de diffusion non commutatifs. Il s'agit des semigroupes $(T_t)_{t\geq 0}$ d'opérateurs normaux et auto-adjoints opérant sur une algèbre de von Neumann semifinie $(\mathcal{M} ,\tau )$, tels que $T_t\colon L^p(\mathcal{M}  )\to L^p(\mathcal{M}  )$ est une contraction pour tout $p\geq 1$ et pour tout $t\geq 0$. Nous présentons et étudions plusieurs exemples de tels semigroupes, pour lesquels nous sommes en mesure d'établir une propriété de calcul $H^\infty $ borné, ainsi que des estimations quadratiques. Cette étude inclut certains semigroupes engendrés par des opérateurs Hamiltoniens ou des multiplicateurs de Schur, des semigroupes d'Ornstein-Uhlenbeck opérant sur les algèbres de von Neumann de $q$-déformation de Bozejko-Speicher, et le semigroupe de Poisson non commutatif défini sur l'algèbre de von Neumann d'un groupe libre.