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Spectre automorphe des variétés hyperboliques et applications topologiques

Automorphic spectrum of hyperbolic manifolds and topological applications

Nicolas BERGERON, Laurent CLOZEL
Spectre automorphe des variétés hyperboliques et applications topologiques
  • Année : 2005
  • Tome : 303
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F75, 32Q45, 11G18, 14G35, 22E47, 22E55, 58J50
  • Nb. de pages : xx+218
  • ISBN : 2-85629-186-4
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.696

Ce texte comporte deux parties. Dans la première nous étudions le spectre automorphe des variétés hyperboliques. Nous montrons en particulier un théorème « à la Selberg »sur la première valeur propre du laplacien sur les formes différentielles des variétés hyperboliques complexes de congruence. Notre démonstration passe par la théorie des représentations ; à ce titre nous tentons de faire un effort de vulgarisation de la théorie moderne des formes automorphes à l'attention d'éventuels lecteurs géomètres. Dans la deuxième partie du texte nous appliquons les résultats de la première partie à l'étude de la topologie des variétés hyperboliques complexes ; nous obtenons en particulier un théorème de relèvement de es de cohomologie. La motivation principale de ce travail est donnée par les conjectures d'Arthur : celles-ci impliquent des restrictions très fortes sur le spectre des variétés arithmétiques qui à leur tour impliquent des propriétés conjecturales sur la géométrie des variétés hyperboliques. Ce texte fournit, outre des énoncés précis, la preuve de formes affaiblies de ces conjectures dans des cas particuliers.

This book is made of two parts. The first is concerned with the differential form spectrum of congruence hyperbolic manifolds. We prove Selberg type theorems on the first eigenvalue of the laplacian on differential forms. The method of proof is representation-theoretic ; we hope the different chapters may as well serve as an introduction to the modern theory of automorphic forms and its application to spectral questions. The second part of the book is of a more differential geometric flavor ; a new kind of lifting of cohomology es is proved. The main motivation of this work is given by Arthur's conjectures ; these conjectures implies strong restrictions on the spectrum of arithmetic manifolds which, in turn, imply conjectural properties on the geometry of hyperbolic manifolds. Together with precise statements of these conjectures, this text gives proofs of weak forms of them in some particular cases.

Spectre automorphe, variétés arithmétiques, conjectures d'Arthur, cohomologie des variétés localement symétriques
automorphic spectrum, arithmetic varieties, Arthur conjectures, cohomology of locally symmetric varieties
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