On calcule dans cet article l'homologie stable des groupes orthogonaux et symplectiques sur un corps fini $k$ à coefficients tordus par un endofoncteur usuel $F$ des $k$-espaces vectoriels (puissance extérieure, symétrique, divisée...). Par homologie stable, on entend, pour tout entier naturel $i$, les colimites des espaces vectoriels $H_i(O_{n,n}(k) ; F(k^{2n}))$ et $H_i(\mathrm {\mathrm {Sp}}_{2n}(k) ; F(k^{2n}))$ — dans cette situation, la stabilisation (avec une borne explicite en fonction de $i$ et $F$) est un résultat ique de Charney. Tout d'abord, nous donnons un cadre formel pour relier l'homologie stable de certaines suites de groupes à l'homologie de petites catégories convenables, à l'aide d'une suite spectrale, qui dégénère dans de nombreux cas favorables. Cela nous permet d'ailleurs de retrouver des résultats de Betley sur l'homologie stable des groupes linéaires et des groupes symétriques, par des méthodes purement algébriques (sans recours à la $K$-théorie stable). Pour une application exploitable de ce formalisme aux groupes orthogonaux ou symplectiques sur un corps fini, nous réinterprétons la deuxième page de notre suite spectrale en termes de foncteurs de Mackey non additifs et utilisons leurs propriétés d'acyclicité. Cela permet d'obtenir une simplification spectaculaire de la deuxième page de la suite spectrale en employant de puissants résultats d'annulation connus en homologie des foncteurs. Dans le cas où les groupes orthogonaux ou symplectiques sont pris sur un corps fini et les coefficients à valeurs dans les espaces vectoriels sur ce même corps, nous pouvons mener le calcul de cette deuxième page grâce à des résultats iques : annulation homologique à coefficients triviaux (Quillen, Fiedorowicz-Priddy), et calcul des groupes de torsion entre foncteurs usuels (Franjou-Friedlander-Scorichenko-Suslin, Chałupnik). Ceci permet de nombreux calculs d'homologie stable à coefficients.