On considère un problème de Cauchy strictement hyperbolique, en dimension un d'espace. Les résultats iques assurent l'existence pour tout temps, du moins lorsque les valeurs prises par l'amplitude et la variation totale de la donnée initiale sont proches de zéro. L'hypothèse de petitesse en norme $L^\infty $ est en règle générale incontournable. La question est de savoir s'il est possible d'assouplir la restriction imposée à la variation. L'objectif de ce travail est de mettre à jour un critère qui permet de réaliser ce programme. La contrainte dont il s'agit porte sur le comportement quadratique du flux : les coefficients de vraie non linéarité doivent dominer les termes d'interaction. Dans ce contexte, on constate que la variation calculée sur des intervalles de longueur (convenablement) fixée décroît avec le temps. La mise à jour de cette nouvelle notion de décroissance est motivée par les applications suivantes :

1. existence globale lorsque la condition initiale est périodique, avec une petite variation par période ;
2. propriétés de compacité de l'opérateur solution ;
3. temps de vie amélioré dans le cas de données petites en norme $L^\infty $ mais grandes en variation.