À l'aide d'un résultat algébrique dû à Mai, nous écourtons la démonstration du “closing lemma” en topologie $C^1$ de C. Pugh et C. Robinson et en donnons un énoncé plus précis. Nous traitons un cas nouveau : celui des champs de vecteurs symplectiques. Nous en déduisons le théorème de densité des points périodiques dans l'ensemble des points non errants ne tendant pas vers $\infty $ comme le faisaient C. Pugh et C. Robinson, donnant un résultat aussi dans le cas des champs de vecteurs symplectiques. Puis, nous énonçons un résultat nouveau : un lemme de fermeture d'orbite en topologie $C^1$, qui permet de rendre un point récurrent périodique en approximant son orbite. Enfin, nous généralisons la version ergodique du “closing lemma” de R. Mañé au cas des variétés non compactes et des mesures boréliennes positives finies sur tout compact.