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Théorie de Hodge $p$-adique dans le cas relatif : fondations

Relative $p$-adic Hodge theory : Foundations

Kiran S. KEDLAYA, Ruochuan LIU
Théorie de Hodge $p$-adique dans le cas relatif : fondations
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  • Année : 2015
  • Tome : 371
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G25, 14G20, 14G22
  • Nb. de pages : 239
  • ISBN : 978-2-8569-807-7
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.957

Nous décrivons une approche nouvelle de la théorie de Hodge $p$-adique dans le cas relatif, fondée sur l'utilisation systématique des constructions des vecteurs de Witt et de la géométrie analytique non archimédienne à la manière de Berkovich et de Huber. Nous donnons un traitement approfondi des $\varphi $-modules sur un anneau de Robba relatif associé à un anneau de Banach parfait de caractéristique $p$, qui inclut le lien entre ces objets et les $\mathbb {Z}_p$-systèmes locaux étales et les $\mathbb {Q}_p$-systèmes locaux sur les espaces algébriques et analytiques associés à l'anneau de base, ainsi que le lien entre la cohomologie (pro-)étale et la $\varphi $-cohomologie. Nous établissons aussi un lien critique avec la caractéristique mixte en exhibant une équivalence de catégories tensorielles entre les algèbres étales finies sur une algèbre de Banach parfaite arbitraire sur un corps non trivialement normé complet de caractéristique $p$, et les algèbres étales finies sur une $\mathbb {Q}_p$-algèbre de Banach correspondante. Ceci redonne l'homéomorphisme entre les groupes de Galois absolus de $\mathbb {F}_p (( \pi ))$ et de $\mathbb {Q}_p(\mu _{p^\infty })$ donné par le corps des normes de Fontaine et Wintenberger, ainsi que des généralisations considérées par Andreatta, Brinon, Faltings, Gabber, Ramero, Scholl, et plus récemment Scholze. En utilisant le formalisme des espaces adiques de Huber et le formalisme des espaces perfectoïdes de Scholze, nous globalisons ces constructions afin de donner plusieurs descriptions des systèmes locaux étales sur des espaces analytiques sur des corps $p$-adiques. L'une de ces descriptions utilise une version relative de la courbe de Fargues-Fontaine.

We describe a new approach to relative $p$-adic Hodge theory based on systematic use of Witt vector constructions and nonarchimedean analytic geometry in the style of both Berkovich and Huber. We give a thorough development of $\varphi $-modules over a relative Robba ring associated to a perfect Banach ring of characteristic $p$, including the relationship between these objects and étale $\mathbb Z_p$-local systems and $\mathbb Q_p$-local systems on the algebraic and analytic spaces associated to the base ring, and the relationship between (pro-)étale cohomology and $\varphi $-cohomology. We also make a critical link to mixed characteristic by exhibiting an equivalence of tensor categories between the finite étale algebras over an arbitrary perfect Banach algebra over a nontrivially normed complete field of characteristic $p$ and the finite étale algebras over a corresponding Banach $\mathbb Q_p$-algebra. This recovers the homeomorphism between the absolute Galois groups of $\mathbb F_p((\pi ))$ and $\mathbb Q_p(\mu _{p^\infty })$ given by the field of norms construction of Fontaine and Wintenberger, as well as generalizations considered by Andreatta, Brinon, Faltings, Gabber, Ramero, Scholl, and most recently Scholze. Using Huber's formalism of adic spaces and Scholze's formalism of perfectoid spaces, we globalize the constructions to give several descriptions of the étale local systems on analytic spaces over $p$-adic fields. One of these descriptions uses a relative version of the Fargues-Fontaine curve.

$p$-adic Hodge theory, étale local systems, perfectoid spaces, $(\phi , \Gamma )$-modules, Fargues-Fontaine curves

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