Soit $G$ un groupe réductif connexe sur un corps local non archimédien $F$. La conjecture du centre stable fournit une décomposition intrinsèque de l'ensemble des es d'équivalence de représentations lisses irréductibles de $G(F)$, qui est seulement un peu plus grossière que la décomposition en $L$-paquets. Nous proposons dans ce travail une voie de vérification de cette conjecture pour les représentations de profondeur zéro. À titre d'illustration de notre méthode, nous montrons que le projecteur de Bernstein vers le spectre de profondeur zéro est stable.