Un objectif de ce travail est d'étudier la dynamique sur le complémentaire des tores KAM en mettant l'accent sur la transitivité robuste non locale. Nous introduisons les ensembles ouverts de difféomorphismes symplectiques et de systèmes hamiltoniens, présentant de grands ensembles robustement transitifs. L'adhérence de ces ensembles ouverts (en topologie $C^r$, $r=1, 2, \dots , \infty $) contient un grand nombre de systèmes, y compris les systèmes intégrables a priori instables. En outre, l'existence de mesures ergodiques avec un grand support est obtenue pour l'ensemble de ces systèmes. L'ingrédient principal des preuves est la combinaison de l'étude de systèmes itérés de fonctions de dynamique minimale et d'un nouvel outil de la dynamique hamiltonienne que nous appelons « mélangeurs symplectiques ».