SMF

Points rationnels des variétés rationnellement simplement connexes

Rational points of rationally simply connected varieties

Jason Michael Starr
  • Année : 2010
  • Tome : 31
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14M20, 14D05, 12G05
  • Pages : 155-221
Nous présentons un rapport détaillé sur un travail commun avec A. J. de Jong et Xuhua He, travail qui établit, dans le cas déployé, la « conjecture II » de Serre sur un corps $K$ de fonctions de deux variables sur un corps $k$ algébriquement clos : pour tout groupe algébrique $G$ semisimple simplement connexe sur $k$, tout $G$-torseur sur $K$ a un $K$-point. C'est une conséquence d'un théorème (en caractéristique nulle) selon lequel une variété $X$ projective et lisse sur $K$ possède un $K$-point si d'une part il n'y a pas d'obstruction élémentaire (comme définie par Colliot-Thélène et Sansuc) et si d'autre part certaines hypothèses géométriques sont satisfaites – les plus importantes étant que la fibre générique géométrique est rationnellement simplement connexe, et qu'elle possède une surface très tordante.
This is a survey of joint work with A. J. de Jong and Xuhua He proving Serre's « Conjecture II » for a function field $K$ of a surface over an algebraically closed field $k$ in the split case : for every simply connected, semisimple algebraic group $G$ over $k$, every $G$-torsor over $K$ has a $K$-point. This follows from a theorem, in characteristic 0, saying that a smooth, projective variety $X$ over $K$ has a $K$-point if the elementary obstruction of Colliot-Thélène and Sansuc vanishes, and if certain additional hypotheses hold—most importantly the geometric generic fiber must be rationally simply connected and must have a very twisting surface.
Vari'et'es rationnellement connexes, groupes alg'ebriques semi-simples, torseurs
Rationally connected varieties, semisimple algebraic groups, torsors