Nous présentons un rapport détaillé sur un travail commun avec A. J. de Jong et Xuhua He, travail qui établit, dans le cas déployé, la « conjecture II » de Serre sur un corps $K$ de fonctions de deux variables sur un corps $k$ algébriquement clos : pour tout groupe algébrique $G$ semisimple simplement connexe sur $k$, tout $G$-torseur sur $K$ a un $K$-point. C'est une conséquence d'un théorème (en caractéristique nulle) selon lequel une variété $X$ projective et lisse sur $K$ possède un $K$-point si d'une part il n'y a pas d'obstruction élémentaire (comme définie par Colliot-Thélène et Sansuc) et si d'autre part certaines hypothèses géométriques sont satisfaites – les plus importantes étant que la fibre générique géométrique est rationnellement simplement connexe, et qu'elle possède une surface très tordante.