Le forfait signature pour les espaces de Witt
The signature package on Witt spaces
Anglais
Dans cet article nous prouvons plusieurs résultats pour l'opérateur de la signature sur un espace de Witt $X$ compact orienté quelconque. Nous construisons une paramétrix de l'opérateur de la signature de $X$ en raisonnant par récurrence sur la profondeur de $X$ et en utilisant une analyse très fine de l'opérateur normal (près d'une strate). Ceci nous permet de montrer que le domaine maximal de l'opérateur de la signature est compactement inclus dans l'espace $L^2$ correspondant. On peut alors (re)démontrer que l'opérateur de la signature est essentiellement self-adjoint et a un spectre $L^2$ discret de multiplicité finie de sorte que son indice est bien défini. Nous donnons donc une nouvelle démonstration de certains résultats dus à Jeff Cheeger. Nous considérons ensuite le cas où $X$ est muni d'un revêtement galoisien de groupe $\Gamma $. Nous utilisons alors nos constructions pour définir la e d'indice de signature analytique à valeurs dans le groupe de $K$-théorie $K_*(C^*_r \Gamma )$. Nous généralisons dans cette situation singulière la plupart des résultats connus dans le cas où $X$ est lisse. C'est ce qu'on appelle le « forfait signature ». En particulier, nous prouvons un nouveau théorème, purement topologique, qui permet de prouver l'invariance par homotopie stratifiée des hautes signatures de $X$ (définies à l'aide de la $L-$ e homologique de $X$) pourvu que l'application d'assemblement rationnelle $K_* (B \Gamma ) \otimes \mathbb {Q} \rightarrow K_*(C^*_r \Gamma ) \otimes \mathbb {Q}$ soit injective.