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Un complexe de Koszul de modules instables et cohomotopie d'un spectre de Thom

A Koszul complex of unstables modules and cohomotopy of a Thom spectrum

Nguyen Dang Ho Hai
Un complexe de Koszul de modules instables et cohomotopie d'un spectre de Thom
  • Année : 2012
  • Fascicule : 2
  • Tome : 140
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 55S10, 55Q55, 16S37
  • Pages : 257-308
  • DOI : 10.24033/bsmf.2628
Dans [?], les auteurs ont construit une résolution injective minimale d'un module instable dans la catégorie des modules instables modulo $2$. A partir de cette résolution, un résultat de type conjecture de Segal a été obtenu pour un certain spectre de Thom. Le but de cet article est de refaire ces résultats pour les premiers impairs. Etant donné un premier impair $p$, on construit dans ce travail un complexe de Koszul dans la catégorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod modulo $p$. Une résolution injective d'un module instable intéressant est obtenue comme cas particulier de ce complexe de Koszul. Ce module instable est la cohomologie modulo $p$ d'un spectre de Thom qui apparaît (à $p$-complétion près) comme l'un des fibres homotopiques non contractiles dans la tour de Goodwillie du foncteur identité évaluée en la sphère $S^3$. Comme application de cette résolution injective, on calcule quelques groupes de cohomotopie de ce spectre à l'aide du travail de S. Zarati [?] sur les foncteurs dérivés du foncteur de déstabilisation.
We constructed in [?] a minimal injective resolution of an unstable module over the modulo $2$ Steenrod algebra. From this resolution, a Segal conjecture-type result was obtained for a certain Thom spectrum. In this paper we propose to study similar problems modulo odd primes. Given $p$ an odd prime, we construct in this work a Koszul complex in the category of unstable modules over the mod $p$ Steenrod algebra. An injective resolution of an interesting unstable module is obtained as a special case of this Koszul complex. This unstable module is the mod $p$ cohomology of a Thom spectrum used in the description of the layers of the Goodwillie tower of the identity functor evaluated on the sphere $S^3$. As an application of the injective resolution, we compute some cohomotopy groups of the Thom spectrum using work of S. Zarati [?] on the derived functors of the destabilisation functor.
Complexe de Koszul, module instable, foncteur de déstabilisation
Koszul complex, unstable module, destabilisation functor
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