Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction $f$ est de puissance $p$-ième intégrable ($p>1$), sa série de Fourier converge presque partout. D'un autre côté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné $x$, on peut introduire l'indice de divergence comme étant le plus petit exposant $\beta $ tel que $S_nf(x)=O(n^\beta )$. On sait que cet indice est au plus égal à $1/p$ et on s'intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points $E_\beta $ d'indice de divergence donné $\beta $. Nous montrons que quasi-toute fonction de $L^p$ (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-sûrement dans $L^p$, pour tout $\beta $, la dimension de Hausdorff de $E_\beta $ vaut $1-\beta p$. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de $S_nf(x)$ est contrôlée par le logarithme de $n$. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels.