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Les conjectures de Hodge et de Bloch généralisées sont équivalentes pour les intersections complètes générales

The generalized Hodge and Bloch conjectures are equivalent for general complete intersections

Claire Voisin
Les conjectures de Hodge et de Bloch généralisées sont équivalentes pour les intersections complètes générales
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  • Année : 2013
  • Tome : 46
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14C25, 14C30
  • Pages : 449-475
  • DOI : 10.24033/asens.2193
Nous montrons la conjecture de Bloch pour les surfaces avec $p_g=0$ obtenues comme lieux des zéros $X_\sigma $ d'une section $\sigma $ d'un fibré vectoriel très ample sur une variété $X$ à groupes de Chow « triviaux ». Nous obtenons un résultat similaire en présence d'une action d'un groupe fini, montrant que si un projecteur du groupe agit comme $0$ sur les $2$-formes holomorphes de $X_\sigma $, il agit comme $0$ sur les $0$-cycles de degré $0$ de $X_\sigma $. En dimension supérieure, nous obtenons un résultat similaire mais conditionnel montrant que la conjecture de Hodge généralisée pour $X_\sigma $ générale entraîne la conjecture de Bloch généralisée pour tout $X_\sigma $ lisse, en supposant satisfaite la conjecture de Lefschetz standard (cette dernière hypothèse n'étant pas nécessaire en dimension $3$).
We prove that Bloch's conjecture is true for surfaces with $p_g=0$ obtained as $0$-sets $X_\sigma $ of a section $\sigma $ of a very ample vector bundle on a variety $X$ with “trivial” Chow groups. We get a similar result in presence of a finite group action, showing that if a projector of the group acts as $0$ on holomorphic $2$-forms of $X_\sigma $, then it acts as $0$ on $0$-cycles of degree $0$ of $X_\sigma $. In higher dimension, we also prove a similar but conditional result showing that the generalized Hodge conjecture for general $X_\sigma $ implies the generalized Bloch conjecture for any smooth $X_\sigma $, assuming the Lefschetz standard conjecture (the last hypothesis is not needed in dimension $3$).
Cycles algébriques, conjecture de Bloch, conjecture de Hodge généralisée.
Algebraic cycles, Bloch conjecture, generalized Hodge conjecture.
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