Nous démontrons une minoration pour le nombre de zéros distincts d'une somme $1+u+v$, $u,v$ étant deux fonctions rationnelles, en fonction du degré de $u$ et $v$ ; cette minoration est forte si le nombre de zéros et poles de $u,v$ est suffisament petit par rapport à leur degré. Dans certains cas, on obtient une amélioration de l'inégalité de Voloch et Brownawell-Masser, qui entraîne des nouveaux résultats de finitude sur les équations diophantiennes sur les corps de fonctions. Par exemple, nous démontrons que la surface de type Fermat définie par l'équation $x^a+y^a+z^c=1$ ne contient qu'un nombre fini de courbes rationnelles ou elliptiques, dès que $a\geq 10^4$ et $c\geq 2$. Ce résultat constitue un cas particulier d'une célèbre conjecture de Bogomolov.