Nous montrons que le groupe de tresses à 4 brins $B_4$, son quotient central $B_4/\langle z\rangle $, ainsi que le groupe d'automorphismes $\operatorname {Aut} (F_2)$ du groupe libre à 2 générateurs, possèdent la proprété RD de décroissance rapide de Haagerup–Jolissaint. Nous montrons également que le groupe de tresses $B_4$ est un groupe (de dimension 3) de rang intermédiaire mésoscopique. Plus précisément, nous montrons que les trois groupes précédents sont de rang mésoscopique exponentiel, c'est-à-dire qu'ils contiennent un nombre exponentiel de boules plates qui ne sont pas contenues dans des plats.