SMF

Une démonstration explicite de la formule de Gauss-Bonnet généralisée

An explicit proof of the generalized Gauss-Bonnet formula

Henri Gillet, Fatih M. Ünlü
  • Année : 2009
  • Tome : 328
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 57R20, 32C35
  • Pages : 137-160
  • DOI : 10.24033/ast.867
Dans cet article nous construisons un représentant explicite de la e fondamentale de Grothendieck $ [Z] \in \mathrm {Ext} ^{r}(\mathcal {O}_{Z},\Omega ^r_{X})$ d'une sous-variété $Z$ dans une variété lisse complexe $X$ quand $Z$ est le lieu des zéros d'une section réelle analytique d'un fibré vectoriel holomorphe $E$ de rang $r$ sur $X$. Nous associons à cette donnée une super-connection $A$ sur $\bigwedge ^* E^{\vee }$, qui fournit une « résolution tordue » $T^*$ de $\mathcal {O}_{Z}$ telle que la « super-trace généralisée » de $\frac {1}{r!}A^{2r}$, qui est un morphisme de complexes de $T^*$ vers le complexe de Dolbeault $\mathbb {A} ^{r,*}_{X}$, représente $[Z]$. On peut alors lire la formule de Gauss-Bonnet à partir de cette application entre complexes.
In this paper we construct an explicit representative for the Grothendieck fundamental $ [Z] \in \mathrm {Ext} ^{r}(\mathcal {O}_{Z},\Omega ^r_{X})$ of a complex submanifold $Z$ of a complex manifold $X$ when $Z$ is the zero locus of a real analytic section of a holomorphic vector bundle $E$ of rank $r$ on $X$. To this data we associate a super-connection $A$ on $\bigwedge ^* E^{\vee }$, which gives a “twisted resolution” $T^*$ of $\mathcal {O}_{Z}$ such that the “generalized super-trace” of $\frac {1}{r!}A^{2r}$, which is a map of complexes from $T^*$ to the Dolbeault complex $\mathbb {A} ^{r,*}_{X}$, represents $[Z]$. One may then read off the Gauss-Bonnet formula from this map of complexes.
Géométrie différentielle, géométrie algébrique, es caractéristiques, formule de Gauss-Bonnet
Differential geometry, algebraic geometry, characteristic es, Gauss-Bonnet formula