Nous considèrons une variété riemannienne $M$, qui peut être compactifiée en lui adjoignant une variété riemannienne $C^\infty $ compacte orientée, telle qu'un voisinage de la strate singulière $B$, de codimension au moins deux, est donné par une famille de cônes métriques. Sous une hypothèse d'annulation de la cohomologie de la section du cône en dimension moitié, nous montrons qu'il existe une extension auto-adjointe naturelle de l'opérateur de Dirac agissant sur les formes qui est de spectre discret, et nous déterminons la condition sous laquelle l'opérateur de Dirac est essentiellement auto-adjoint. Nous décrivons les conditions de bord, et nous construisons une parametrix qui donne le développement asymptotique de la trace de la résolvante, comme dans un travail antérieur. Nous donnons aussi une preuve nouvelle de la formule locale pour la signature $L^2$.