On construit un morphisme d'image directe par submersion propre pour la version réelle de la $K$-théorie relative (considérée dans [?] dans un contexte holomorphe), et un théorème de type Grothendieck-Riemann-Roch est établi pour les es de Johnson-Nadel-Chern-Simons. On étudie aussi des propriétés métriques. Ceci nécessite de construire des formes $\eta $ (de transgression du théorème d'indice des familles) dans le cas où l'image directe est définie par l'operateur d'Euler (de Rham) des fibres. On en déduit également un morphisme d'image directe pour une $K$-théorie « lisse non hermitienne » ou « multiplicative libre ». La question de la fonctorialité de ces images directes pour des doubles submersions est également abordée.