SMF

$K$-théorie différentiable

Smooth $K$-Theory

Ulrich Bunke, Thomas Schick
  • Année : 2009
  • Tome : 328
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 19L10, 58J28
  • Pages : 45-135
  • DOI : 10.24033/ast.866
Dans cet article, nous considérons des extensions différentielles des théories cohomologiques. En particulier, nous construisons un modèle analytique multiplicatif de la K-théorie différentielle. Nous introduisons les K-orientations différentielles d'une submersion propre $p\colon W\to B$. Nous contruisons une application d'intégration associée : $\hat p_!\colon \hat K(W)\to \hat K(B)$ ; et nous démontrons les propriétés attendues, telles que la fonctorialité, la compatibilité aux pull-backs, des formules de projection et de bordisme. Nous construisons un relèvement multiplicatif du caractère de Chern $\hat \mathop {\mathbf {ch}} :\hat K(B)\to \hat H(B,\mathbb {Q} )$, où $\hat H(B,\mathbb {Q} )$ est une extension différentielle de la cohomologie rationnelle, et nous démontrons que $\hat \mathop {\mathbf {ch}} $ induit un isomorphisme rationnel. Si $p\colon W\to B$ est une submersion propre munie d'une $K$-orientation différentielle, nous définissons une e $A(p)\in \hat H^{\mathrm {ev}}(W,\mathbb {Q} )$ (compare Lemma ??) et une application d'intégration modifiée $\hat p_!^A:=\hat p_!(A(p)\cup \dots ):\hat H(W,\mathbb {Q} )\to \hat H(B,\mathbb {Q} ).$ L'un de nos résultats principaux est une version en cohomologie différentielle du théorème d'indice d'Atiyah-Singer, pour laquelle $\hat p^A_!\circ \hat \mathop {\mathbf {ch}} =\hat \mathop {\mathbf {ch}} \circ \hat p_!$.
In this paper we consider smooth extensions of cohomology theories. In particular we construct an analytic multiplicative model of smooth $K$-theory. We further introduce the notion of a smooth $K$-orientation of a proper submersion $p\colon W\to B$ and define the associated push-forward $\hat p_!:\hat K(W)\to \hat K(B)$. We show that the push-forward has the expected properties as functoriality, compatibility with pull-back diagrams, projection formula and a bordism formula. We construct a multiplicative lift of the Chern character $\hat \mathop {\mathbf {ch}} :\hat K(B)\to \hat H(B,\mathbb {Q} )$, where $\hat H(B,\mathbb {Q} )$ denotes the smooth extension of rational cohomology, and we show that $\hat \mathop {\mathbf {ch}} $ induces a rational isomorphism. If $p\colon W\to B$ is a proper submersion with a smooth $K$-orientation, then we define a $A(p)\in \hat H^{\mathrm {ev}}(W,\mathbb {Q} )$ (see Lemma ??) and the modified push-forward $\hat p_!^A:=\hat p_!(A(p)\cup \dots ):\hat H(W,\mathbb {Q} )\to \hat H(B,\mathbb {Q} ).$ One of our main results lifts the cohomological version of the Atiyah-Singer index theorem to smooth cohomology. It states that $\hat p^A_!\circ \hat \mathop {\mathbf {ch}} =\hat \mathop {\mathbf {ch}} \circ \hat p_!$.
Cohomologie de Deligne, K-théorie différentielle, caractère de Chern, famille d'opérateurs elliptiques , théorème d'indice d'Atiyah-Singer
Deligne cohomology, smooth $K$-theory, Chern character, families of elliptic operators, Atiyah-Singer index theorem