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Validité mathématique de la théorie $f(R)$ de la gravité modifiée

The Mathematical Validity of the $\mathbf {f(R)}$ Theory of Modified Gravity

Philippe G. LeFloch, Yue Ma
Validité mathématique de la théorie $f(R)$ de la gravité modifiée
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  • Année : 2017
  • Tome : 150
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 83C05, 35L15, 83C99
  • Nb. de pages : vi + 119
  • ISBN : 978-2-85629-849-7
  • ISSN : 0240-633-X (print) 2275-3230 (electronic)
  • DOI : 10.24033/msmf.458
Nous étudions le problème de Cauchy pour la théorie $f(R)$ de la gravité modifiée, laquelle généralise la théorie ique de gravitation due à Einstein. L'intégrant de la fonctionnelle d'Einstein-Hilbert est la courbure scalaire de l'espace-temps, tandis que, dans la théorie de la gravité modifiée, l'intégrant est une fonction non linéaire $f(R)$, et les équations de champ sont d'ordre quatre par rapport aux dérivées de la métrique inconnue. Nous introduisons ici une formulation du problème de valeurs initiales pour la gravité modifiée, lorsque des données sont prescrites sur une hypersurface de type espace. Nous établissons que, en plus de la métrique induite et de la deuxième forme fondamentale, il est nécessaire de se donner la courbure de l'espace-temps et sa dérivée première. Nous proposons alors une formulation conforme « augmentée » dans laquelle la courbure scalaire est une inconnue indépendante supplémentaire. Dans la jauge des ondes (ou jauge harmonique), nous démontrons que les équations de champ forment un système couplé non linéaire d'équations d'ondes et d'équations de Klein-Gordon. Nous établissons une propriété de consistance pour ce système dont les inconnues sont la métrique conforme et la courbure scalaire, et nous démontrons l'existence d'un développement de Cauchy maximal lorsque les données initiales ont une régularité de type Sobolev et que la matière est décrite par un champ scalaire sans masse. Nous analysons le « couplage de Jordan » dans la métrique d'Einstein qui est conformément équivalente à la métrique physique. Nous obtenons des estimées de type énergie dans des espaces fonctionnels à poids ; ces estimées sont uniformes par rapport à la nonlinéarité $f(R)$ et nous permettent de valider rigoureusement la limite singulière $f(R) \to R$. Nous montrons ainsi que le système d'ordre quatre de la gravité modifiée converge vers le système d'ordre 2 de la gravité d'Einstein. Ce travail établit donc la validité mathématique de la théorie de la gravité modifiée.
We investigate the Cauchy problem for the $f(R)$ theory of modified gravity, which is a generalization of Einstein's ical theory of gravitation. The integrand of the Einstein-Hilbert functional is the scalar curvature $R$ of the spacetime, while, in modified gravity, it is a nonlinear function $f(R)$ so that, in turn, the field equations of the modified theory involve up to fourth-order derivatives of the unknown spacetime metric. We introduce here a formulation of the initial value problem in modified gravity when initial data are prescribed on a spacelike hypersurface. We establish that, in addition to the induced metric and second fundamental form (together with the initial matter content, if any), an initial data set for modified gravity must also provide one with the spacetime scalar curvature and its first-order time-derivative. We propose an augmented conformal formulation (as we call it), in which the spacetime scalar curvature is regarded as an independent variable. In particular, in the so-called wave gauge, we prove that the field equations of modified gravity are equivalent to a coupled system of nonlinear wave-Klein-Gordon equations with defocusing potential. We establish the consistency of the proposed formulation, whose main unknowns are the conformally-transformed metric and the scalar curvature (together with the matter fields) and we establish the existence of a maximal globally hyperbolic Cauchy development associated with any initial data set with sufficient Sobolev regularity when, for definiteness, the matter is represented by a massless scalar field. We analyze the so-called Jordan coupling and work with the so-called Einstein metric, which is conformally equivalent to the physical metric — the conformal factor depending upon the unknown scalar curvature. A main result in this paper is the derivation of quantitative estimates in suitably defined functional spaces, which are uniform in term of the nonlinearity $f(R)$ and show that spacetimes of modified gravity are ‘close' to Einstein spacetimes, when the defining function $f(R)$ is ‘close' to the Einstein-Hilbert integrand $R$. We emphasize that this is a highly singular limit problem, since the field equations under consideration are fourth-order in the metric, while the Einstein equations are second-order only. In turn, our analysis provides the first mathematically rigorous validation of the theory of modified gravity.
Gravité d'Einstein, gravité modifiée, problème de Cauchy, formulation conforme augmentée
Einstein gravity, modified gravity, Cauchy problem, augmented conformal formulation
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